Trójkąt asymptotyczny

Trójkąt asymptotyczny – figura ${\displaystyle ABC_{\infty }}$ utworzona przez dwa promienie równoległe i odcinek łączący ich początki^[1].

Można go interpretować jako trójkąt, którego trzecim (poza początkami półprostych równoległych ${\displaystyle AC_{\infty }}$ i ${\displaystyle BC_{\infty }}$) wierzchołkiem jest punkt w nieskończoności ${\displaystyle C_{\infty }}$ odpowiadający pękowi^[a] promieni równoległych do ${\displaystyle AC_{\infty }}$ i ${\displaystyle BC_{\infty }.}$

Boki ${\displaystyle AC_{\infty }}$ i ${\displaystyle BC_{\infty }}$ nazywamy bokami równoległymi trójkąta asymptotycznego, a bok ${\displaystyle AB}$ – bokiem skończonym. Boki równoległe trójkąta asymptotycznego są półprostymi, czyli można powiedzieć, że ich długość jest nieskończona. Trzeci bok jest odcinkiem o skończonej długości. Stąd jego nazwa.

Z twierdzenia Bolyai wynika, że kąt trójkąta asymptotycznego ${\displaystyle ABC_{\infty }}$ w wierzchołku ${\displaystyle C_{\infty }}$ jest równy zero. Jeśli jeden z pozostałych kątów jest prosty, to taki trójkąt nazywamy trójkątem asymptotycznym prostokątnym. Drugi z pozostałych kątów jest wtedy ostry i nazywany jest kątem równoległości lub kątem Łobaczewskiego.

• Jeśli w trójkątach asymptotycznych ${\displaystyle ABC_{\infty }}$ i ${\displaystyle DEF_{\infty }}$ spełnione są równości ${\displaystyle |AB|=|DE|}$ i ${\displaystyle \sphericalangle ABC_{\infty }=\sphericalangle DEF_{\infty },}$ to ${\displaystyle \sphericalangle BAC_{\infty }=\sphericalangle EDF_{\infty }}$^[b][2]
• Jeśli w trójkątach asymptotycznych ${\displaystyle ABC_{\infty }}$ i ${\displaystyle DEF_{\infty }}$ spełnione są równości ${\displaystyle \sphericalangle ABC_{\infty }=\sphericalangle DEF_{\infty }}$ i ${\displaystyle \sphericalangle BAC_{\infty }=\sphericalangle EDF_{\infty },}$ to ${\displaystyle |AB|=|DE|}$^[3].
• Suma kątów dodatnich trójkąta asymptotycznego jest mniejsza od 180°.
• Trójkąt asymptotyczny określają dwa jego dodatnie kąty^[3].
• Dwa trójkąty asymptotyczne prostokątne^[c] mają ten sam kąt ostry wtedy i tylko wtedy, gdy ich boki skończone są równe. Wynika stąd, że istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie ${\displaystyle \Pi (x)}$ bokom skończonym trójkąta asymptotycznego kątów równoległości, gdzie x jest długością boku skończonego^[d].
• Trójkąt asymptotyczny ma pole skończone^[4].

W tak zwanym modelu konforemnym geometrii hiperbolicznej punktami są punkty wnętrza koła, a proste są łukami okręgów prostopadłych do brzegu tego koła. Punkty brzegu koła są punktami w nieskończoności geometrii hiperbolicznej. Na ilustracji wszystkie elementy parkietażu koła są trójkątami asymptotycznymi, bo jeden z ich wierzchołków leży na okręgu ograniczającym koło. Na rysunku widać, dlaczego kąt przy wierzchołku w nieskończoności trójkąta asymptotycznego jest kątem zerowym. Oba łuki są prostopadłe do brzegu koła w tym samym punkcie, czyli są styczne do siebie. Podobne parkietaże były motywami grafik Mauritsa Eschera^[5]. Grafiki oparte na motywach geometrii hiperbolicznej rozpoznać można po tym, że elementy maleją wraz ze zbliżaniem się do brzegu koła.

• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• H.S. Carslaw: The elements of Non-Euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916. Brak numerów stron w książce
• Марсел Берже: Геометрия. Cz. 2. Москва: Мир, 1984, s. 283–308.

• Strona internetowa poświęcona twórczości M.C. Eschera