Przejdź do zawartości

Szereg Grandiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Szereg Grandiegoszereg naprzemienny zapisywany również jako

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Uważał on, że suma tego szeregu wynosi Leibniz zgadzał się z opinią Grandio w liście do Christiana Wolffa z 1713. Dodatkowo określił, że ciąg ten musi posiadać sumę , gdy szereg ma parzystą liczbę elementów oraz gdy nieparzystą. Dlatego obie wartości były równie prawdopodobne dla sumy nieskończonej liczby elementów. Stąd wartość [1]. Mimo że szereg rozbieżny z definicji nie posiada sumy, to taki sam wynik daje sumowanie metodą Cesàro.

Heurystyka

[edytuj | edytuj kod]

Aby znaleźć sumę szeregu

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

czyli

która w wyniku daje Do tego samego wyniku można dojść obliczając odejmując wynik od i rozwiązując [2].

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

  • szereg nie ma sumy[2][3]
  • ..., ale jego suma „powinna” wynosić [3].

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „niekończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami[4][5].

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Jahnke 2003 ↓, s. 121.
  2. a b Devlin 1994 ↓, s. 77.
  3. a b Devlin 1994 ↓, s. 152.
  4. Kline 1983 ↓, s. 307.
  5. Knopp 1990 ↓, s. 457.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Harry F. Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, maj 1989, ISBN 0-486-65973-9 (ang.).
  • Keith Devlin, Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe, Scientific American Library, 1994, ISBN 0-7167-6022-3.
  • Morris Kline, Euler and Infinite Series, „Mathematics Magazine”, 56 (5), 1983, s. 307–314, DOI10.2307/2690371, JSTOR2690371.
  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2.
  • Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.