Równanie falowe

Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogóln�� postacią równania falowego jest:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

W równaniu funkcja ${\displaystyle u(x,t)}$ jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie ${\displaystyle x}$ w chwili ${\displaystyle t.}$ Zadane są początkowe położenie fali ${\displaystyle f}$ oraz początkowy impuls ${\displaystyle g.}$ Fizycznie stała ${\displaystyle c}$ oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol ${\displaystyle \triangle _{x}}$ to laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

${\displaystyle \square u(x,t)=0.}$

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki ${\displaystyle n=1,2,3.}$

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

${\displaystyle e^{i(Et-{\vec {r}}\circ {\vec {p}})/\hbar }.}$

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Jednowymiarowe ${\displaystyle (n=1)}$ równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{cases}}}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

${\displaystyle u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),}$

gdzie ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ),g\in C^{1}(\mathbb {R} )}$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z}.}$

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

${\displaystyle u(0,t)=0}$ dla dowolnego ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x,t)={\frac {f(x+ct)+f(x-ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{x-ct}^{x+ct}{g(z)\mathrm {d} z},&x\geqslant {}ct\\[2pt]u(x,t)={\frac {f(x+ct)-f(ct-x)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \limits _{ct-x}^{ct+x}{g(z)\mathrm {d} z},&x<ct\end{cases}}}$

Równanie falowe dla ${\displaystyle n=3}$ ma postać

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=0,&u:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} \\u(x,0)=f(x),&f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \end{cases}}}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ rozwiązaniem jest:

${\displaystyle 4\pi {}c^{2}{}\cdot {}u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}\right)+{\frac {1}{t}}\int \limits _{S^{2}(x,ct)}{g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}.}$

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe dla ${\displaystyle n=2}$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności ${\displaystyle f\in {}C^{3}(\mathbb {R} ^{3}),g\in {}C^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ rozwiązaniem jest:

${\displaystyle 2\pi {}c\cdot u(x,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {f(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}{}t^{2}-|z-x|^{2}}}}\right)+\int \limits _{D(x,ct)}{\frac {g(z)\mathrm {d} \sigma (z)}{\sqrt {c^{2}t^{2}-|z-x|^{2}}}}.}$

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u-c^{2}\cdot \triangle _{x}u=h(x,t),&u:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to {}\mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\[2pt]u(x,0)=0,\\[2pt]{\frac {\partial {}}{\partial t}}u(x,0)=0,\end{cases}}}$

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

${\displaystyle 4\pi {}c^{2}u(x,t)=\int \limits _{0}^{ct}{\mathrm {d} r\int \limits _{S^{2}(x,r)}{h\left(z,t-{\frac {r}{c}}\right)}\mathrm {d} \sigma (z)}.}$

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku ${\displaystyle |z-x|=ct.}$

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie ${\displaystyle n=3}$ oraz ${\displaystyle n=2.}$

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Niech ${\displaystyle n=3.}$ Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że ${\displaystyle u(x,t)\neq {}0}$ tylko w pewnym skończonym czasie ${\displaystyle t\in {}[t_{1},t_{2}].}$ Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla ${\displaystyle n=2.}$ Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak ${\displaystyle {\frac {1}{t}}.}$

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasu^[1].

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa.
• Michał Heller, Tadeusz Pabjan: Elementy filozofii przyrody. Kraków: Copernicus Center Press, 2014. ISBN 978-83-7886-065-5.

• Jacek Ciborowski, Krzysztof Turzyński, Kamerton i struna