Przestrzeń jednorodna
Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna na której działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna jest grupą homeomorfizmów przestrzeni Wówczas jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie „wygląda wszędzie tak samo”[1]. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy na o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na czyniąc z pojedynczą G-orbitę.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie niepustym zbiorem, a będzie grupą. Parę nazywa się -przestrzenią, jeżeli działa na [a]. Zauważmy, że musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na wyznaczane przez zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to -przestrzeń, na której działa przechodnio.
Zwięźle, jeśli jest obiektem kategorii to strukturą -przestrzeni jest homomorfizm
w grupę automorfizmów obiektu kategorii Para definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Jeśli jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na jako homeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę homeomorfizmów
Podobnie, jeżeli jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę dyfeomorfizmów
Geometria
[edytuj | edytuj kod]W duchu programu erlangeńskiego, geometria może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.
W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.
Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.
Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw
[edytuj | edytuj kod]Ogólnie, jeżeli jest przestrzenią jednorodną, a jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu (wybór początku), to punkty odpowiadają warstwom lewostronnym
W ogólności różne wybory początku będą dawać iloraz przez inną podgrupę która związana jest z przez automorfizm wewnętrzny Dokładniej,
(1) |
gdzie jest dowolnym elementem dla którego Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory lecz tylko od modulo
Jeżeli działanie na jest ciągłe, to jest domkniętą podgrupą W szczególności, jeśli jest grupą Liego, to jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd jest rozmaitością gładką, a więc jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.
Jeżeli jest podgrupą trywialną to jest główną przestrzenią jednorodną.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy
szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że jest wymiaru 4.
Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.
Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.
Prejednorodne przestrzenie liniowe
[edytuj | edytuj kod]Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.
Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa z działaniem grupy algebraicznej takiej, że istnieje orbita która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być działająca na przestrzeni jednowymiarowej.
Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).
Zastosowania w fizyce
[edytuj | edytuj kod]Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.[2]
Przestrzeń jednorodna wymiaru określa wektorów Killinga[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych
- gdzie obiekt tzw. „stała strukturalna”, jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej),
można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, gdzie jest symbolem Leviego-Civity.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Przyjmujemy, że działanie jest lewostronne. Rozróżnienie jest istotne tylko w opisie jako przestrzeni warstw.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Przestrzeń jednorodna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ Lev Landau, Evgeny Lifshitz: Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann, 1980. ISBN 978-0750627689.
- ↑ Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley and Sons, 1972.