Niestabilność Jeansa

Niestabilność Jeansa – zależność opisująca warunki jakie muszą być spełnione do zapadania grawitacyjnego obłoków materii i formowania się gromad galaktyk, galaktyk, gwiazd, planet itp. Zapadanie obłoku zachodzi, gdy obłok gazu nie jest w stanie zachować równowagi hydrostatycznej, którą dla jednorodnego kulistego obłoku określa wzór:

${\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho M_{ob}}{r^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle M_{ob}}$ – masa części obłoku od jego środka do rozważanego miejsca,

${\displaystyle p}$ – ciśnienie w analizowanym miejscu,

${\displaystyle \rho }$ – gęstość,

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle r}$ – promień, odległość od środka obłoku do analizowanego miejsca.

Równowaga jest trwała (stabilna), jeżeli małe zaburzenia są wygaszane w czasie, natomiast niestabilna, kiedy ulegają wzmocnieniu. Ogólnie chmura jest niestabilna, jeśli jest albo bardzo masywna w danej temperaturze, albo bardzo chłodna przy danej masie; w tych okolicznościach ciśnienie gazu nie może pokonać grawitacji i chmura zapadnie się.

Masa Jeansa została nazwana na cześć brytyjskiego fizyka Sir Jamesa Jeansa, który badał zjawisko kolapsu grawitacyjnego obłoków gazu. Jeans pokazał, iż w pewnych warunkach, obłok gazu lub jego część, może stać się niestabilny i zacząć się zapadać, jeżeli gradient ciśnienia nie będzie w stanie zrównoważyć siły grawitacji. Ponadto pokazał, że dla ustalonych parametrów fizycznych obłoku (tj. temperatura, gęstość itp.), istnieje ściśle określona masa, po przekroczeniu której obłok ulega zapadaniu i będzie się kurczył, dopóki wytworzone ciśnienie nie przeciwstawi się kolapsowi. Jeans podał wzór pozwalający określić stabilność obłoku tylko na podstawie jego gęstości i temperatury.

Przybliżoną masę krytyczną można wydedukować z rozważań fizycznych. Niech obłok gazu będzie jednorodną kulą o promieniu ${\displaystyle R,}$ masie ${\displaystyle M}$ oraz określonej gęstości i ciśnieniu, wyrażonymi przez prędkość dźwięku ${\displaystyle c_{s}.}$ Jeżeliby w niewielkim stopniu ścisnąć hipotetyczny obłok i pozostawić działaniu ciśnienia, to fale ciśnienaia (dźwiękowe) odbudowywać stan równowagi (zmieniając gradient ciśnienia). Czas dotarcia zmiany do środka obłoku zależy od prędkości dźwięku w gazie:

${\displaystyle t_{dzw}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0{,}5{\mbox{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\mbox{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{-1}}$

Równocześnie siła grawitacji będzie próbowała jeszcze bardziej ścisnąć obłok w skali czasowej spadku swobodnego:

${\displaystyle t_{ff}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle \rho }$ – gęstość,

${\displaystyle n}$ – koncentracja cząsteczek gazu.

W zależności od tego, która skala czasowa jest krótsza, obłok będzie:

• stabilny – ${\displaystyle t_{dzw}<t_{ff},}$ oscylacje ciśnienia przywrócą stan równowagi,
• niestabilny – ${\displaystyle t_{dzw}>t_{ff},}$ siła grawitacji przeważy i obłok zapadnie się.

Wychodząc z warunku niestabilności ${\displaystyle (t_{dzw}>t_{ff}),}$ można pokazać, iż istnieje pewna charakterystyczna długość ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0{,}4{\mbox{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

zwana długością Jeansa.

Wszystkie jednorodne, sferycznie symetryczne obłoki materii o promieniu ${\displaystyle R>R_{J}}$ są niestabilne grawitacyjnie.

Z założenia jednorodności i sferycznej symetrii obłoku można, na podstawie długości Jeansa, wyprowadzić wzór na masę krytyczną:

${\displaystyle M_{J}={\frac {4\pi }{3}}\rho \left({\frac {R_{J}}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\mbox{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0{,}2{\mbox{ km s}}^{-1}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\mbox{cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$

• granica Chandrasekhara
• granica Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa