Metoda płaszczyzny fazowej

Metoda płaszczyzny fazowej – topologiczna metoda badania układów dynamicznych II rzędu, w tym także mechanicznych układów o jednym stopniu swobody. Polega ona na poszukiwaniu rozwiązania dynamicznego równania ruchu nie jako funkcji czasu, lecz w postaci zależności między prędkością a przemieszczeniem. Metoda płaszczyzny fazowej pozwala określić podstawowe właściwości ruchu bez potrzeby rozwiązywania wyjściowych równań ruchu w dziedzinie czasu. Najwygodniej jest ją stosować, gdy dysponuje się maszyną analogową z ploterem lub oscyloskopem.

Układ wyrażony jest za pomocą równań:

${\displaystyle F({\ddot {x}},{\dot {x}},x)=0}$

${\displaystyle {\ddot {x}}=P({\dot {x}},x)}$

Stosując przekształcenie:

${\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d{\dot {x}}}{dt}}={\frac {d{\dot {x}}}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {d{\dot {x}}}{dx}}{\dot {x}},}$

następuje redukcja równania drugiego rzędu do równania pierwszego rzędu:

${\displaystyle {\frac {d{\dot {x}}}{dx}}{\dot {x}}=P({\dot {x}},x).}$

Rozwiązując powyższe równanie dla wybranych warunków początkowych, możliwe jest wyznaczenie zależności pomiędzy przemieszczeniem a prędkością (trajektorii fazowej) oraz nakreślenie jej w płaszczyźnie fazowej ${\displaystyle (x,{\dot {x}}).}$

• płaszczyzna fazowa
• przestrzeń fazowa