Izospin

Izospin – liczba kwantowa, charakteryzująca cząstki kwantowe, transformująca się względem reprezentacji grupy SU(2). Identyczną grupę transformacji ma zwykły spin, stąd wzięła się nazwa tej wielkości. Izospin jest wektorem w pewnej abstrakcyjnej przestrzeni. Tak samo jak w przypadku zwykłego spinu, nie jest możliwe jednoczesne zmierzenie więcej niż jednej składowej izospinu, podaje się więc tylko jego trzecią składową. Izospin zwykle oznacza się literą ${\displaystyle I,}$ a jego trzecią składową – ${\displaystyle I_{3}.}$

Istnieją dwa typy izospinu: silny i słaby.

Silny izospin różny od zera przypisuje się cząstkom oddziałującym silnie – barionom i mezonom, które są złożone z kwarków. Wartość izospinu określa się według reguły: jeżeli cząstka wchodzi w skład multipletu zawierającego ${\displaystyle n}$ cząstek, to

${\displaystyle I={\frac {1}{2}}(n-1)}$

zaś wartość trzeciej składowej wynosi

${\displaystyle I_{3}=-I,-I+1,\dots ,I}$

czyli ma ${\displaystyle 2I+1=n}$ wartości, przy czym do multipletów zalicza się cząstki o zbliżonych masach (jest to analogia do multipletowości stanów spinowych), tak że najniższą liczbę trzeciej składowej przypisuje się cząstce o najmniejszym ładunku, a najwyższą – cząstce o największym ładunku.

Przykładowo:

(1) nukleony – proton i neutron – tworzą dublet silnego izospinu, ze względu na to, że mają bardzo zbliżone masy; stąd mamy:

• ${\displaystyle I=1/2}$ – izospin nukleonów,
• trzecia składowa:
  • ${\displaystyle I_{3}=-1/2}$ dla neutronu,
  • ${\displaystyle I_{3}=1/2}$ dla protonu,

(2) piony ${\displaystyle \pi ^{+},}$ ${\displaystyle \pi ^{0}}$ i ${\displaystyle \pi ^{-}}$ tworzą tryplet izospinu

• ${\displaystyle I=1}$ – izospin pionów,
• trzecia składowa:
  • ${\displaystyle I_{3}=-1}$ dla ${\displaystyle \pi ^{-},}$
  • ${\displaystyle I_{3}=0}$ dla ${\displaystyle \pi ^{0},}$
  • ${\displaystyle I_{3}=1}$ dla ${\displaystyle \pi ^{+}.}$

(3) Wszystkie leptony są singletami – dlatego mają silny izospin równy 0.

Izospin wykazuje symetrię względem grupy ${\displaystyle SU(2),}$ analogicznie jak spin, przy czym jest to symetria dokładna w przypadku spinu, a przybliżona w przypadku izospinu. Jest tak dlatego, że proton nie ma masy identycznej jak neutron, podobnie naładowane mezony ${\displaystyle \pi ^{-}}$ i ${\displaystyle \pi ^{+}}$ mają inne masy niż mezon ${\displaystyle \pi ^{0}.}$

Silny izospin i jego rzut są wielkościami zachowanymi w oddziaływaniach silnych, tzn. suma liczb izospinu i rzutu izospinu cząstek przed oddziaływaniem jest równa sumie liczb izospinu i rzutu izospinu po oddziaływaniu. Izospin silny nie zachowuje się w oddziaływaniach słabych.

(1) działając operatorem obniżającym spin ${\displaystyle {\hat {S}}_{-}}$ na elektron w stanie

${\displaystyle |s,m_{1}\rangle =|1/2,1/2\rangle ,}$

otrzymamy elektron w stanie

${\displaystyle |s,m_{2}\rangle =|1/2,-1/2\rangle }$

– jest to symetria dokładna, gdyż elektron o spinie skierowanym w górę, wzdłuż pola magnetycznego ma np. identyczną masę i ładunek jak elektron o spinie skierowanym w dół.

(2) działając operatorem obniżającym izospin ${\displaystyle {\hat {I}}_{-}}$ na stan izospinowy protonu

${\displaystyle |I,I_{3}\rangle =|1/2,1/2\rangle ,}$

otrzymamy stan izospinowy neutronu

${\displaystyle |I,I_{3}\rangle =|1/2,-1/2\rangle }$

– nie jest to jednak symetria dokładna, gdyż proton ma nieco inną masę niż neutron, a ponadto różnią się ładunkiem.

Odkrycie kwarków pozwoliło wyjaśnić pochodzenie symetrii silnego izospinu hadronów zawierających najlżejsze kwarki: kwarkom u oraz d przypisujemy izospin I=1/2, wtedy rzut izospinu kwarka u wynosi +1/2, a rzut izospinu kwarka d wynosi −1/2; odpowiednio przeciwne wartości rzutu izospinu przypisuje się ich antykwarkom; stąd można obliczyć izospin i rzut izospinu każdego hadronu, zliczając izospiny i ich rzuty przypisanie poszczególnym kwarkom w jego składzie. Przy czym symetria izospinu kwarków jest dokładniejsza niż symetria izospinowa hadronów, nie jest ona jednak zupełnie dokładna ze względu na różnice mas kwarków u i d.

Wiemy, że istnieje 6 różnych kwarków, pogrupowanych w 3 generacje. Masywniejszym kwarkom przypisuje się ich własny rodzaj izospinu, mający symetrię grupy ${\displaystyle SU(2).}$ Wszystkie kwarki można traktować jako przejawy symetrii grupy ${\displaystyle SU(6),}$ dla której grupy ${\displaystyle SU(2)}$„zwykłego” izospinu byłaby podgrupami. Jednak różnice mas między poszczególnymi kwarkami wyższych generacji są tak duże, że zupełnie znika sens doszukiwania się między nimi tego typu symetrii.

Słaby izospin jest wielkością zachowaną ściśle. Jego niezwykłą cechą jest chiralność, to znaczy zależność od zwykłego spinu. Lewoskrętne elektrony mają słaby izospin równy −1/2, lewoskrętne neutrina +1/2. Lewoskrętne kwarki u, c i t mają izospin równy +1/2, lewoskrętne kwarki d, s i b −1/2. Prawoskrętne antycząstki powyższych cząstek mają odpowiednio przeciwne izospiny. Natomiast prawoskrętne odpowiedniki zwykłych cząstek mają słaby izospin równy 0. Ta różnica w traktowaniu cząstek lewoskrętnych i prawoskrętnych jest znana jako złamanie symetrii P. Na uwagę zasługują też neutrina – jeżeli mają masę, to istnieją prawoskrętne neutrina o słabym izospinie równym 0, co daje nam cząstkę o wszystkich możliwych ładunkach równych 0, z wyjątkiem masy. Takie neutrino nazywa się neutrinem sterylnym i nie bierze ono udziału w żadnym oddziaływaniu poza grawitacją, co ze względu na małą masę neutrin czyni z niego najsłabiej oddziałującą cząstkę.

Teoria oddziaływań elektrosłabych ma symetrię cechowania ${\displaystyle SU(2)\times U(1),}$ przy czym grupa ${\displaystyle SU(2)}$ jest grupą transformacji słabego izospinu, zaś grupa ${\displaystyle U(1)}$ opisuje tzw. hiperładunek. Teoria przewiduje istnienie czterech wektorowych bozonów cechowania:

${\displaystyle W^{-},}$ ${\displaystyle W^{0},}$ ${\displaystyle W^{+}}$ i ${\displaystyle B^{0}}$.

Naładowane bozony W mają trzecią składową izospinu równą odpowiednio −1 i +1 i wraz z bozonem ${\displaystyle W^{0}}$ tworzą tryplet.

Bozon B jest singletem – ma izospin i jego trzecią składową równą 0.

Tworząc z bozonów ${\displaystyle W^{0}}$ i ${\displaystyle B^{0}}$ kombinacje liniowe, uzyskuje się bozon ${\displaystyle Z^{0}}$ oraz foton (bozon γ). Współczynniki liniowe przy tych bozonach zależą od tzw. kąta Weinberga, który określa stopień „zmieszania” bozonów W i B, tworzących bozony Z i γ.

Uwzględniając słaby hiperładunek ${\displaystyle Y,}$ można zapisać wzór:

${\displaystyle Q=I_{3}-Y}$

gdzie ${\displaystyle Q}$ to ładunek elektryczny.

Powyższy wzór można interpretować tak, że ładunek elektryczny jest jedynie kombinacją liniową hiperładunku i izospinu jako bardziej podstawowych wielkości („kreską” na grupie ${\displaystyle SU(2)\times U(1)}$). Szczególna pozycja ładunku elektrycznego wynika z tego, że jego bozon cechowania (foton) jest bezmasowy. Jednak bezmasowość fotonu i masywność bozonu Z jest wynikiem złamania symetrii elektrosłabej. W pierwotnym wszechświecie być może ta symetria nie była złamana, ładunek elektryczny nie istniał jako wyróżniona wielkość, a wszystkie liniowe kombinacje bozonów ${\displaystyle W^{0}}$ i ${\displaystyle B^{0}}$ zachowywały się tak samo.

Masy bozonów Z i γ w myśl teorii oddziaływań elektrosłabych wynikają z modelu Higgsa. Otóż bozon Higgsa oddziałuje z wszystkimi cząstkami ze względu na ich izospin i hiperładunek, ale w przypadku fotonu te wartości się znoszą. Dlatego foton nie oddziałuje z bozonem Higgsa i jest bezmasowy. Sprawia to, że ładunek elektryczny staje się wyróżnioną wielkością i cząstki nim obdarzone oddziałują relatywnie mocno, natomiast inne kombinacje liniowe hiperładunku i izospinu są dyskryminowane i wpływają na własności cząstek znacznie słabiej.

• współczynniki Clebscha-Gordana
• wzór Gell-Manna-Nishijimy

• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.