Hipoteza Elliotta-Halberstama

Hipoteza Elliotta-Halberstama jest problemem otwartym teorii liczb. Hipoteza, nazwana po Peterze D.T.A. Elliocie i Heinim Halberstamie, dotyczy szacowania ilości liczb pierwszych występujących w ciągach arytmetycznych. Treść hipotezy została sformułowana po raz pierwszy w 1968 r.^[1]

Hipoteza należy do dziedziny teorii sit. Jej prawdziwość miałaby ogromny wpływ na postępy w ustalaniu najmniejszej różnicy występującej między liczbami pierwszymi nieskończenie wiele razy.

Niech ${\displaystyle \pi (x)}$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze, a ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze w ciągu arytmetycznym ${\displaystyle a+nq}$ ${\displaystyle (n=0,1,2,\dots ).}$ Oznaczmy

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,}$

gdzie ${\displaystyle (x,y)}$ oznacza największy wspólny dzielnik liczby ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ a ${\displaystyle \varphi }$ to tocjent Eulera. Wówczas dla każdej stałej ${\displaystyle \theta <1}$ i stałej ${\displaystyle A>0}$ zachodzi zależność

${\displaystyle \sum _{1\leqslant q\leqslant Q}E(x;q)=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right)}$

dla ${\textstyle Q=x^{\theta }}$ i wszystkich ${\displaystyle x>2}$ (przy czym stała uwzględniona w notacji dużego O zależy jedynie od ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle A}$).

Treść hipotezy, dla ustalonej stałej ${\displaystyle \theta ,}$ zwykle bywa skracana do ${\displaystyle EH[\theta ]}$^[2].

${\displaystyle EH[\theta ]}$ została udowodniona dla wszystkich ${\textstyle \theta \in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ przez Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa (wynik ten znany jest powszechnie jako twierdzenie Bombieriego-Winogradowa). Dodatkowo wiadomo, że ${\displaystyle EH[\theta ]}$ dla ${\displaystyle \theta =1}$ nie jest prawdziwa.

Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}1\leqslant q\leqslant Q\\q\in S\end{array}}E_{0}(x;q)=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle Q=O\left(x^{\theta }\right),}$ ${\textstyle \theta ={\frac {1}{2}}+2\omega ,}$ ${\displaystyle I\subset [1,x^{\delta }],}$ a ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w ${\displaystyle I.}$ Dodatkowo przyjmujemy

${\displaystyle E_{0}(x;q)=\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|,}$

tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt ${\displaystyle a({\text{mod }}q)}$ była zależna od ${\displaystyle x}$ pod warunkiem, że ${\displaystyle (a,P_{I})=1,}$ gdzie

${\displaystyle P_{I}=\prod _{p\in I}p,}$

tzn. ${\displaystyle P_{I}}$ to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w ${\displaystyle I.}$

Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych ${\displaystyle \omega }$ i ${\displaystyle \delta }$ bywa zapisywana skrótowo jako ${\displaystyle MPZ[\omega ,\delta ]}$^[2]. Wiadomo, że ${\displaystyle MPZ[\omega ,\delta ]}$ jest prawdą dla ${\displaystyle \omega ,\delta \geqslant 0}$ takich, że ${\displaystyle 600\omega +180\delta <7}$^[2].

Niech ${\displaystyle \tau (n)}$ oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby ${\displaystyle n.}$ Dodatkowo, niech ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle M}$ będą wartościami zależnymi od ${\displaystyle x,}$ takimi, że ${\displaystyle x^{\epsilon }\leqslant x^{o(1)}N}$ i ${\displaystyle M\leqslant x^{1-\epsilon +o(1)}}$ oraz ${\displaystyle NM\asymp x}$ dla ${\displaystyle \epsilon >0,}$ gdzie ${\displaystyle o(1)}$ i ${\displaystyle \asymp }$ oznaczają notację asymptotyczną.

Załóżmy, że funkcje ${\displaystyle \alpha \colon [N,2N]\to \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle \beta \colon [M,2M]\to \mathbb {R} }$ różne od 0 spełniają zależności

${\displaystyle |\alpha (n)|\ll \tau (n)^{O(1)}(\log x)^{O(1)}}$

oraz

${\displaystyle |\beta (m)|\ll \tau (m)^{O(1)}(\log x)^{O(1)},}$

gdzie ${\displaystyle O(1)}$ oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że ${\displaystyle \beta }$ spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,

${\displaystyle \left|\sum _{\begin{array}{c}n\equiv a({\text{mod }}q)\\(n,r)=1\end{array}}\beta (n)-{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{\begin{array}{c}(n,q)=1\\(n,r)=1\end{array}}\beta (n)\right|\ll \tau (qr)^{O(1)}{\frac {M}{(\log x)^{A}}},}$

dla dowolnych ${\displaystyle q,r\geqslant 1}$ oraz ${\displaystyle (a,q)=1.}$ Oznaczmy

${\displaystyle E(f;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\sum _{n\equiv a({\text{mod }}q)}f(n)-{\frac {1}{\varphi (q)}}\sum _{(n,q)=1}f(n)\right|.}$

Wówczas

${\displaystyle \sum _{1\leqslant q\leqslant Q}E(\alpha *\beta ;q)\ll {\frac {x}{(\log x)^{A}}}}$

dla ${\displaystyle Q\leqslant x^{o(1)+\theta },}$ gdzie ${\displaystyle \alpha *\beta }$ oznacza splot Dirichleta funkcji ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta .}$

Powyższą treść zwykle zapisuje się jako ${\displaystyle GEH[\theta ]}$ (z ang. generalised Elliott-Halberstam conjecture), a ogólne sformułowanie „uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama” dotyczy prawdziwości ${\displaystyle GEH[\theta ]}$ dla wszystkich ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$^[2].

Wiadomo, że ${\displaystyle GEH[\theta ]}$ jest prawdziwa dla ${\textstyle \theta \in \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ jako uogólnione twierdzenie Bombieriego-Winogradowa^[3].

Hipoteza Elliota-Halberstama – zarówno pierwotna, jak i uogólniona – mają ogromny wpływ na wyniki dotyczące różnic między liczbami pierwszymi.

Oznaczmy

${\displaystyle H_{m}=\liminf _{n\to \infty }(p_{n+m}-p_{n}),}$

gdzie ${\displaystyle p_{n}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą liczbę pierwszą.

Znane są następujące wyniki^[2].

${\displaystyle m}$	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (wykazane bezwarunkowo)	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (zakładając hipotezę EH)	${\displaystyle \geqslant H_{m}}$ (zakładając GEH)
1	246	–	6
2	398 130	270	252
3	24 797 814	52 116	–
4	1 431 556 072	474 266	–
5	80 550 202 480	4 137 854	–
${\displaystyle m\geqslant 1}$	${\displaystyle Cm\exp \left(\left(4-{\frac {28}{157}}\right)m\right)}$	${\displaystyle Cme^{2m}}$	–