Domknięcie pierwiastnikowe

Domknięcie pierwiastnikowe – w teorii ciał zbiór elementów pierwiastnikowych danego ciała, dla ciała ${\displaystyle K}$ oznaczany przez ${\displaystyle r(K)}$^[1].

Pojęcie elementu pierwiastnikowego wywodzi się z intuicyjnego pojmowania liczb, które można uzyskać z elementów danego ciała za pomocą dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania. Formalnie definiuje się je jednak w sposób bardziej skomplikowany. Mianowicie element ${\displaystyle a}$ należący do domknięcia algebraicznego ciała ${\displaystyle K,}$ a więc ${\displaystyle a\in a(K),}$ jest elementem pierwiastnikowym względem ciała ${\displaystyle K}$ (inaczej mówiąc, należy do jego domknięcia pierwiastnikowego, ${\displaystyle a\in r(K)}$), jeżeli istnieją takie ciała ${\displaystyle K_{i}}$ począwszy od ${\displaystyle K_{0}=K}$ aż do ${\displaystyle K_{r},}$ że w każdym wypadku^[1]:

• po pierwsze ${\displaystyle K_{i}}$ zawiera się w ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle (K_{i}\subset K_{i+1})}$
• po drugie ciało ${\displaystyle K_{i+1}}$ stanowi ciało rozkładu wielomianu wziętego z ${\displaystyle K_{i}[x]}$ względem ciała poprzedniego ${\displaystyle K_{i},}$ przy czym postać rzeczonego wielomianu zależy od charakterystyki ciała ${\displaystyle K}$ (a co za tym idzie, ciał ${\displaystyle K_{i}}$). W przypadku ciał o zerowej charakterystyce ${\displaystyle (\chi _{K}=0)}$ wielomian ma postać ${\displaystyle f(x)=x^{n_{i}}-a_{i}.}$ W razie niezerowej charakterystyki, wyrażającej się liczbą pierwszą ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\chi _{K}=p\neq 0),}$ sytuacja jest bardziej skomplikowana. Rozpatrywany wielomian ${\displaystyle f}$ może mieć postać taką sama, jak uprzednio ${\displaystyle ((x)=x^{n_{i}}-a_{i})}$ bądź też ${\displaystyle f(x)=x^{p}-x-a_{i}}$^[1].

Początkowo przyjmuje się, że występujące w powyższych wzorach liczby ${\displaystyle n_{i}}$ mogą być dowolnymi niezerowymi naturalnymi. Dowodzi się jednak dalej, że można zawsze w ten sposób dobrać ciąg ciał ${\displaystyle K_{i},}$ żeby ${\displaystyle n_{i}}$ zawsze były liczbami pierwszymi różnymi od charakterystyki ciała. W takim wypadku ${\displaystyle (K_{i+1}:K_{i})}$ nie przekracza nigdy wartości ${\displaystyle n_{i}}$^[1].

Jeżeli dane ciało ${\displaystyle K}$ ma rozszerzenie ${\displaystyle L}$ (a więc ${\displaystyle K\subset L}$) i jeżeli dla każdego elementu ${\displaystyle b}$ wziętego z ${\displaystyle L}$ (czyli ${\displaystyle b\in L}$) spełnia on powyższe warunki (to znaczy jeżeli każdy element ciała ${\displaystyle L}$ jest pierwiastnikowy względem ${\displaystyle K}$), to takie rozszerzenie nazywa się rozszerzeniem pierwiastnikowym. Oczywiście z tak sformułowanej definicji wynika, że każde rozszerzenie pierwiastnikowe ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K}$ musi zawierać się w jego domknięciu pierwiastnikowym ${\displaystyle r(K),}$ a więc ${\displaystyle L\subset r(K)}$^[1].

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.