Residuum funkcji holomorficznej

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: residuum w sedymentologii (geologii).

Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle z_{0}}$ – pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji ${\displaystyle f}$ holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt ${\displaystyle z_{0}.}$

Innymi słowy, jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym ${\displaystyle z_{0},}$ to jej residuum w punkcie ${\displaystyle z_{0}}$ nazywa się współczynnik ${\displaystyle a_{-1}}$ w jej rozwinięciu ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ w szereg Laurenta w punkcie ${\displaystyle z_{0}.}$

Równoważna definicja: residuum w punkcie ${\displaystyle z_{0}}$ funkcji ${\displaystyle f}$ holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu ${\displaystyle z_{0}}$ nazywamy wartość^[1]:

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }f(z)\ \operatorname {d} z,}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt ${\displaystyle z_{0}.}$

Zachodzi też wzór

${\displaystyle \mathrm {Res} (f,z_{0})={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(f(z)(z-z_{0})^{n}\right),}$

gdzie ${\displaystyle n}$ to rząd bieguna w punkcie ${\displaystyle z_{0}.}$

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

${\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z,}$

gdzie ${\displaystyle C}$ jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla ${\displaystyle e^{z}}$ jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

${\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {1}{z^{5}}}\left(1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\ldots \right)\ \operatorname {d} z.}$

Dołączmy składnik ${\displaystyle 1/z^{5}}$ do szeregu, otrzymamy:

${\displaystyle \oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {z}{z^{5}}}+{\frac {z^{2}}{2!z^{5}}}+{\frac {z^{3}}{3!z^{5}}}+{\frac {z^{4}}{4!z^{5}}}+{\frac {z^{5}}{5!z^{5}}}+{\frac {z^{6}}{6!z^{5}}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z,}$

${\displaystyle \oint \limits _{C}\left({\frac {1}{z^{5}}}+{\frac {1}{z^{4}}}+{\frac {1}{2!z^{3}}}+{\frac {1}{3!z^{2}}}+{\frac {1}{4!z}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {z}{6!}}+\ldots \ \right)\operatorname {d} z.}$

Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że:

${\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {1}{z^{a}}}\ \operatorname {d} z=0,}$ gdy ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} \setminus \{1\}.}$

Teraz całka wokół ${\displaystyle C}$ dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od ${\displaystyle cz^{-1}}$ staje się 0, i całość redukuje się do:

${\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z.}$

I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego otrzymujemy równość:

${\displaystyle \oint \limits _{C}{\frac {e^{z}}{z^{5}}}\ \operatorname {d} z=\oint \limits _{C}{\frac {1}{4!z}}\ \operatorname {d} z={\frac {1}{4!}}(2\pi i).}$

Wartość ${\displaystyle 1/4!}$ jest znana jako residuum z ${\displaystyle e^{z}/z^{5}}$ w ${\displaystyle z=0,}$ a jego notacja to

${\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{5}}},\ {\text{ lub }}\ \mathrm {Res} (f,0).}$

• całka krzywoliniowa (twierdzenie Cauchy’ego)