Wzmacniacze operacyjne

Określenie: wzmacniacz operacyjny jest tłumaczeniem angielskich słów operational amplifier. Mamy więc do czynienia z elementem, który wykonuje operacje matematyczne.

Ogólny symbol wzmacniacza operacyjnego z uwzględnieniem linii zasilających przedstawiony jest poniżej.

W praktyce stosuje się uproszczony symbol bez linii zasilających.

Wzmacniacz operacyjny znajduje zastosowanie przy realizacji elektronicznych układów scalonych, służących np. do dodawania lub odejmowania napięć i prądów.

Idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzuje się nieskończenie wielką rezystancją wejściową ${\displaystyle R_{we}}$ i nieskończenie wielkim wzmocnieniem napięciowym ${\displaystyle A_{u}}$ – wzmocnieniu podlega napięcie różnicowe ${\displaystyle U_{o}=A_{u}U_{d}=A_{u}(U_{+}-U_{-})}$. W rzeczywistych układach rezystancja wejściowa jest bardzo duża- rzędu megaomów (więc można przyjąć, że WzmOp nie pobiera prądu z wejścia), natomiast wzmocnienie napięciowe jest rzędu stu-kilkudziesięciu decybeli (${\displaystyle 10^{4}\div 10^{7}V/V}$).

Ze względu na dużą rezystancję wejściową wzmacniacz operacyjny nie stanowi obciążenia dla źródła sygnału. Wzmacniacz operacyjny ma wielkie wzmocnienie napięciowe, więc zakres pracy liniowej jest niewielki, i dlatego układy tego typu są przeznaczone do pracy z zewnętrznym sprzężeniem zwrotnym, na ogół ujemnym sprzężeniem zwrotnym (dalej zostanie to szczegółowo omówione).

Ujemne sprzężenie zwrotne zmniejsza wzmocnienie, co jednak nie jest negatywnym zjawiskiem, a pożądanym, ponieważ:

1. poszerza zakres pracy liniowej,
2. zmniejsza wrażliwość na zakłócenia,
3. poszerza pasmo przenoszenia,
4. parametry wzmacniacza objętego pętlą sprzężenia zwrotnego zależą w zasadzie wyłącznie od elementów wchodzących w skład obwodów sprzężenia zwrotnego.

Wzmocnienie układu z pętlą sprzężenia zwrotnego dane jest wzorem:

${\displaystyle k_{u}={\frac {A_{u}}{1+\beta A_{u}}}={\frac {1}{{\frac {1}{A_{u}}}+\beta }}}$

gdzie:

• ${\displaystyle A_{u}}$ – wzmocnienie napięciowe wzmacniacza operacyjnego
• ${\displaystyle \beta }$ – współczynnik sprzężenia zwrotnego (${\displaystyle \beta \in [0,1]}$), określa, ile procent sygnału wyjściowego wraca z powrotem na wejście; może być on niezależny od częstotliwości sygnału albo zależny (co jest podstawą działania filtrów aktywnych).

Pamiętając, że ${\displaystyle A_{u}=10^{4}\div 10^{7}}$ widać, że ułamek ${\displaystyle {\frac {1}{A_{u}}}}$ będzie bardzo mały, o wiele mniejszy niż ${\displaystyle \beta }$ i praktycznie wartość ${\displaystyle \beta }$ decyduje o wzmocnieniu całego układu. Można w formie ćwiczenia podstawić do wzoru dwie skrajne wartości ${\displaystyle A_{u}}$, przyjąć ${\displaystyle \beta =0{,}3}$ i porównać uzyskane wzmocnienie (dla niecierpliwych: różnice pojawiają się dopiero ok. 3–4 miejsca po przecinku). Tak więc nawet jeśli wzmacniacz operacyjny będzie produkowany z dużym rozrzutem parametrów, to zewnętrzne sprzężenie zwrotne zniweluje różnice i układ w danej konfiguracji będzie działał zawsze tak samo!

W celu przeprowadzenia analizy układów ze wzmacniaczami operacyjnymi przyjmuje się następujące założenia:

• rezystancja wejściowa jest nieskończona,
• wzmocnienie napięciowe jest nieskończone,
• wzmacniacz operacyjny nie pobiera prądu.

Dla ujemnego sprzężenia zwrotnego stosuje się tzw. pozorne zwarcie (zwarcie bezprądowe): ponieważ ${\displaystyle A_{u}\rightarrow \infty }$, to ${\displaystyle U_{d}=0}$, a z kolei ${\displaystyle U_{d}=U_{+}-U_{-}}$, co implikuje równość ${\displaystyle U_{+}=U_{-}}$.

Wzmacniacz odwracający jest wyjściową konfiguracją dla wielu innych układów, dlatego zostanie omówiony dość dokładnie.

Ponieważ wzmacniacz operacyjny nie pobiera prądu, toteż jednakowy prąd ${\displaystyle I}$ płynie przez obydwa rezystory.

Z kolei potencjały obu wejść są jednakowe (bo ${\displaystyle U_{+}=U_{-}}$), skąd wynika, że oba wejścia wzmacniacza operacyjnego są na potencjale masy. Dlatego napięcie na rezystorze ${\displaystyle R_{1}}$ jest równe ${\displaystyle U_{+}-u_{we}=-u_{we}}$, skąd ${\displaystyle I=-{\frac {u_{we}}{R_{1}}}}$. Podobnie napięcie na rezystorze ${\displaystyle R_{2}}$ jest równe ${\displaystyle u_{wy}}$ i tutaj również prąd ${\displaystyle I={\frac {u_{wy}}{R_{2}}}}$. Przyrównując prądy:

${\displaystyle -{\frac {u_{we}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{R_{2}}}}$
${\displaystyle -R_{2}u_{we}=R_{1}u_{wy}}$
${\displaystyle -{\frac {R_{2}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{u_{we}}}=k_{u}}$

Wzmocnienie napięciowe wzmacniacza odwracającego wynosi: ${\displaystyle k_{u}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$

Rezystancja wejściowa układu ${\displaystyle R_{we}={\frac {U_{we}}{I_{we}}}}$. Prąd wejściowy jest równy wyliczonemu wcześniej ${\displaystyle I}$, a podstawiając wyrażenie zawierające ${\displaystyle U_{we}}$, otrzymujemy: ${\displaystyle R_{we}={\frac {U_{we}}{-{\frac {U_{we}}{R_{1}}}}}=-R_{1}}$.

W konfiguracji wzmacniacza nieodwracającego sytuacja ma się podobnie jak w przypadku wzmacniacze odwracającego: jednakowy prąd ${\displaystyle I}$ płynie przez oba rezystory. Napięcia na wejściach wzmacniacza jest równe ${\displaystyle u_{we}}$.

Prąd płynący przez ${\displaystyle R_{1}}$ dany jest wzorem ${\displaystyle {\frac {u_{we}}{R_{1}}}}$, a dla ${\displaystyle R_{2}}$ wzór ma postać ${\displaystyle {\frac {u_{wy}-u_{we}}{R_{2}}}}$. Po przyrównaniu otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {u_{we}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}-u_{we}}{R_{2}}}}$
${\displaystyle R_{2}u_{we}=R_{1}u_{wy}-R_{1}u_{we}}$
${\displaystyle u_{we}(R_{1}+R_{2})=R_{1}u_{wy}}$
${\displaystyle {\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}={\frac {u_{wy}}{u_{we}}}}$

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego wynosi: ${\displaystyle k_{u}={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}=1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$

Wtórnik napięciowy jest specjalnym przypadkiem wzmacniacza nieodwracającego, w którym ${\displaystyle R_{1}\rightarrow \infty }$, co powoduje, że wzmocnienie napięciowe układu jest równe 1. Ponieważ rezystancja wejściowa wtórnika jest bardzo duża, to układy te są stosowane w celu odseparowania źródła sygnału od odbiornika.

Napięcie wyjściowe układu konwertera jest wprost proporcjonalne do prądu ${\displaystyle i_{we}}$ wpływającego do układu i równe ${\displaystyle u_{wy}=-i_{we}R}$. Układy są stosowane do mierzenia niewielkich prądów (rzędu pikoamperów), m.in. do pomiaru natężenia światła.

Przyjmując, że mamy do dyspozycji wzmacniacz idealny, ponieważ sprzężenie zwrotne dąży do wyrównania potencjałów na wejściu wzmacniacza:
${\displaystyle V_{a}}$= potencjał wejścia dodatniego
${\displaystyle V_{b}}$= potencjał wejścia ujemnego
${\displaystyle V_{a}=V_{b}}$
${\displaystyle V_{b}=0}$ ponieważ jest zwarty z masą.
${\displaystyle V_{a}=0}$
${\displaystyle U_{we}=0}$
${\displaystyle U_{we}-U_{R}-U_{wy}=0}$
${\displaystyle -U_{wy}=-U_{we}+U_{R}/-1}$
${\displaystyle U_{wy}=U_{we}-U_{R}}$
${\displaystyle U_{wy}=0-i_{we}R}$
${\displaystyle U_{wy}=-i_{we}R}$

Wzmocnienie konwertera prąd-napięcie dane jest wzorem ${\displaystyle i_{we}=-{\frac {U_{wy}}{R}}}$

Wzmacniacz sumujący odwracający wyznacza ważoną sumę napięć wejściowych (wejść może być więcej niż 2). Jest to wariant wzmacniacza odwracającego.

Prąd ${\displaystyle I}$ jest sumą prądów wejściowych ${\displaystyle I=I_{1}+I_{2}}$; napięcia na wejściach wzmacniacza operacyjnego są równe zero. Stąd napięcie wyjściowe:

${\displaystyle I=I_{1}+I_{2}}$
${\displaystyle {\frac {-u_{wy}}{R}}={\frac {U_{1}}{R_{1}}}+{\frac {U_{2}}{R_{2}}}}$
${\displaystyle u_{wy}=-\left({\frac {R}{R_{1}}}U_{1}+{\frac {R}{R_{2}}}U_{2}\right)}$

Jeśli ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R'}$, wówczas:

Wzmocnienie wzmacniacza sumującego odwracającego dane jest wzorem ${\displaystyle u_{wy}=-{\frac {R}{R'}}(U_{1}+U_{2})}$

Wzmacniacz odejmujący jest często zwany również różnicowym. Realizuje on odejmowanie napięć wejściowych w odpowiednim stosunku zależnym od wartości rezystorów znajdujących się w układzie.

${\displaystyle {\frac {U_{R_{1}}}{R_{1}}}={\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {U_{+}-U_{1}}{R_{1}}}={\frac {U_{wy}-U_{+}}{R_{2}}}}$
${\displaystyle R_{2}U_{+}-R_{2}U_{1}=R_{1}U_{wy}-R_{1}U_{+}}$
${\displaystyle R_{1}U_{wy}=(R_{1}+R_{2})U_{+}-R_{2}U_{1}}$
${\displaystyle R_{1}U_{wy}=(R_{1}+R_{2}){\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}U_{2}-R_{2}U_{1}}$
${\displaystyle U_{wy}={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}{\frac {R_{4}}{R_{3}+R_{4}}}U_{2}-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}U_{1}}$

Jak widać, napięcie wyjściowe jest równe różnicy napięć wejściowych. Jeśli dodatkowo ${\displaystyle R_{4}=R_{2}}$ oraz ${\displaystyle R_{3}=R_{1}}$, to:

Wzmocnienie wzmacniacza odejmującego dane jest wzorem ${\displaystyle U_{wy}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}(U_{2}-U_{1})}$

Wzmacniacz potencjometryczny jest wariantem wzmacniacza odwracającego, w którym wzmocnienie układu regulowane jest za pomocą potencjometru (tutaj reprezentowanego przez rezystory ${\displaystyle R_{3}}$ i ${\displaystyle R_{4}}$).

Prąd przepływający przez ${\displaystyle R_{2}}$ przepływa także przez ${\displaystyle R_{1}}$ i jego natężenie wynosi:

${\displaystyle I={\frac {u_{we}}{R_{1}}}}$

Dodatkowo widać, że ${\displaystyle U_{R_{4}}=-U_{R_{2}}=-IR_{2}}$ (bo ${\displaystyle U_{-}-U_{R_{2}}-U_{R_{4}}=0}$, z II prawa Kirchoffa dla jednego z oczek).

Prąd ten wpływa do węzła dzielnika napięcia i z pierwszego prawa Kirchoffa:

${\displaystyle I+I_{3}=I_{4}}$, a stąd ${\displaystyle I_{3}=I_{4}-I}$.

Ostatecznie napięcie wyjściowe równe sumie napięć na rezystorach ${\displaystyle R_{3}}$ i ${\displaystyle R_{4}}$:

${\displaystyle u_{wy}=U_{R_{3}}+U_{R_{4}}=I_{3}R_{3}+I_{4}R_{4}=(I_{4}-I)R_{3}+I_{4}R_{4}}$

Podstawiając wszystkie dane do wyrażenia na ${\displaystyle u_{wy}}$, otrzymujemy:

${\displaystyle u_{wy}=\left(-{\frac {U_{R_{2}}}{R_{4}}}-{\frac {U_{R_{2}}}{R_{2}}}\right)R_{3}-U_{R_{2}}}$

${\displaystyle u_{wy}=-U_{R_{2}}\left({\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}+1\right)}$

${\displaystyle u_{wy}=-u_{we}{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}\right)}$

${\displaystyle k_{u}=-{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\left(1+{\frac {R_{3}}{R_{4}}}+{\frac {R_{3}}{R_{2}}}\right)}$

|kus| = -sRC

|kus| = -1/sRC