Bruker:Phidus/sandkasse-18

• Engelsk WP, Hyperbolic space
• Tysk WP, Hyperbolischer Raum, meget god historie
• AMS, Hyperbolic 3-manifolds for students

• Engelsk WP, Symmetric space, too abstract for me?
• PhysicsForums, Symmetric spaces, Riemann tensor and Killing vectors
• Augsburg, Symmetric spaces, ok lecture notes
• D.H. Laurence, Maximally Symmetric Spaces, a la Weinberg
• Drexel U, Symmetric spaces from Lie algebras, useful

• Wolfram, Sectional curvature, very useful
• Heidelberg, Sectional curvature properties
• Tysk WP, Schnittkrümmung, på norsk snittkrumning?
• Ziller, Positiv sectional curvature, with history back to Riemann 1854, in N dimensions! Clifford with his torus in which has curvature K = 0, and trotzdem is compact - a plane should extend to infinity!?
• Potsdam U, Diff Geometry with very good sectional curvature
• Emma, C, Riemannian manifolds and sectional curvature

• Engelsk WP, Stereographic projection
• Engelsk WP, Stereographic map projection
• Stackexchange, Stereographic projection metric
• Stackexchange, Stereographic projection maps circles to circles
• R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, McGraw–Hill, New York (1974). ISBN 978-0-07-010855-4.
• G.A. Jones and D. Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge University Press, England (1997). ISBN 0-521-31366-X. Google Book. Perfect for Möbius-transformations
• Engelsk WP, Riemann sphere with complex coordinates
• T.K. Carne, Cambridge U, Geometry and Groups, excellent on Möbius-transformations and Fuchsian groups. Stored on iPad
• John Olsen, The Geometry of Möbius-transformations, just what I need
• Spansk WP, MGM-Levy non-linear sigma model

• Sentralperspektiv er i praksis artikkel om sentralprojeksjon
• Fransk WP, Projection centrale, excellent with lots of basic stuff, also projections of conics
• Fransk WP, Gnomon, excellent med historie, figurer og hvordan påvise jevndøgn og solverv

• Tysk WP, Konforme Abbildung, god mal
• SNL, Konform avbildning, red. Sigbjørn Hervik
• SNL, Kartprojeksjon. Her heter det Mercator-projekjon
• Stackexchange, Meaning of conformal transformation
• Nynorsk WP, Konform avbilding
• Jan Myrheim, Classical Fields, lecture notes NTNU. Stored in iCloud drive
• M.E. Fels, Differential Geometry, with pullbacks and pushforwards in great detail. With cylindrical coordinates, isometries, Killing vectors
• D. Tong, General Relativity
• Rutgers, Conformal invariance in physics
• J. Schwichtenberg, Demystifying Gauge Symmetry, active-passive transformations demystified for the layman
• NN, Map projections
• Mark, Diff geometry of maps for layman
• Wiley, Conformal intro, very good and stored in iCloud as Wiley mapping
• P.J. Oliver, Minnesota U, Conformal Mapping and Complex Analysis, very pedagogic with many applications, specially hydrodynamics. Stored in iCloud as Complex Analysis Conformal
• Youtube, Conformal complex mapping intro
• PlanetMath, Defining conformal map, what I need?
• Studentthesis, Conformals maps and Liouville theorem

• Tysk WP, Penrose-Diagramm, m/utarbeidelse av metrikk for Minkowski. Spank WP må være feil.

${\displaystyle y=\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }}$

• Engelsk WP, Stereographic projection, with history and saying that planisfære er slik projeksjon. Can project upon plane throug Equator or South Pole
• Tysk WP, Stereografische Projektion, fyldig m/mange gode figurer som viser at vinkel 90° overalt mellom lengde- og breddegrad er bevart
• Finsk WP, Mercator-projeksjon, god tekst og figurer

• Utvid gnomonisk kartprojeksjon med ny seksjon Matematisk beskrivelse og sjekk Stereografisk projeksjon, Konform avbildning samt Merkatorprojeksjon. Mye relevant stoff i boken til Kreyzig on Differential Geometry samt Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Band II: Geometrie.
• J.P. Snyder, Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, Chicago (19939. ISBN 0-226-76747-7. Looks very good! On page 65 writes that it was Lambert who in 1772 tried to make the first conform mappings (german: vinkeltreu). Only Mercator and stereographic are such.
• J.P. Snyder, Map Projections - A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, Washington D.C. (1987). Archive.org. States on p, 177 that projection stems from Thales 600 BC
• Svante Jansson, Uppsala, Riemann Geometry and Maps, lots of applications with spheric distance. Both stereographic and gnomonic. Stored in Oslo WikiWorks as RiemannGeometry-maps.
• A. Papadopoulos, History of Conformal Mappings
• Tysk WP, Konforme Abbildung, god mal
• A. Treibergs, Mapping the Earth, differential geometry for mappings with stereographic projection.
• NN, Map Projections and history
• NN, Lagrange map projection
• Blog, Planispheres and beautiful, conformal maps
• NN, History of conformal map projections
• NN, Map projections
• Revolvy, Maps in different projections
• General map projections
• Russian, Conformal maps, starting with complex variables and differential geometry
• Maps and differential geometry
• Applications of differential geometry to cartography
• Rice U, Gnomonic projection basics, also loxodroms and Mercator map which is conformal

Sfæriske trekanter ble studert av tidlige greske matematikere som Menelaus av Alexandria, som skrev en bok om sfæriske trekanter kalt Sphaerica. Tycho Brahe skrev at det å forstå sfæriske trekanter var så guddommelig og opphøyd at det ikke passet å dele mysteriene om dem med hvem som helst.

• Engelsk WP, Al-Jayyani, with link to Special right triangles
• Svensk WP, Sfærisk sinussats, med en del god historiske referanser, og utledninger
• Svensk WP, Sfærisk cosinussats
• Svensk WP, Sfærisk triangel, god diskusjon og mange tema med bra figurer, også Napiers regler
• Engelsk WP, Law of sines, med utledninger og sfærisk/hyperbolsk generalisering
• Fransk WP, Spherical trigonometry, har god historisk oversikt
• Tysk WP, Kugeldreieck, med definisjon av eulersk trekant
• Tysk WP, Spherical trigonometry, har god resept for Napiers regler og god historie
• Svensk WP, Sfærisk sinussats med utledning og historia. Fra Persia ca 900-1000 AD
• NN, History, including House of Wisdom in Bagdad.
• Glen van Brummelen in History of Mathematics, ed Jeremy Gray. Forteller om hvordan tan og cot funksjoner ble innført for gnonom og diskutert av al Biruni. Regiomontanus and prostaferese med ref til van Brummelen bok The Mathematics of the Heavens and the Earth
• Glen van Brummelen, History of Trigonometry to 1550
• Glen van Brummelen, Trigonometry for the Heavens, Physics Today 70(12) 70-71 (2017).
• Sfærisk astronomi, med forskjellige himmelkoordinatsystem
• Glen van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2009). ISBN 978-0-691-12973-0.
• E. Weisstein, Spherical Trigonometry, Wolfram MathWorld
• Sfærisk trekant, med ganske mye, bl a polar trekant og utledning av noen formler
• UCLA, Spherical Trigonometry
• Sailor, Practical navigation with useful examples
• NN, Navigation tutorial
• Libretexts, Intro to four basic formulas, practical useful
• J. Hann, The Elements of Spherical Trigonometry, Virtue Bothers & Co, London (1866). very good
• IMSA, Derivation cosine rule
• UCLA, Derivation of many rules, in particular for right triangles
• TransNav, Derivation of formulas by rotations
• UNCC, Simple derivations of sine rule based on right triangle
• John Cook, Napier's Rules, with standard convention for ordering of corners

• J.A. Christophersen og K. Ranestad, MAT2500 Geometri, UiO (2017), på slutten god diskusjon om kjeglesnitt i projektive geometri og på p.90 deres skjæringspunkt med ℓ_∞ pluss mye mer. Stored i 2021.
• Coxeter-Greitzer defines duality on p.135 and defines a conic as a reciprocal of a circle on p.138. Later in chapter on Projective Geometry gets close relation between different conics. Reciprociation relates a line to every point and defines thus pole-polar basics through ordinary inversion.
• Menelaos' teorem og Cevas setning bevises med homogene koordinater som i Pedoe book
• Lag ny side Cayley-Klein-metrikk som lenkes til Cayley-Klein metric
• Konform avbildning hvor nynorsk WP eksisterer sammen med engelsk WP, Conformal geometry ogconformal mapping
• Elling Holst har også skrevet innføring i projeksjonstegning
• Projeksjonstegning finnes på nynorsk WP som projeksjonsteikning. Artikkelen er lenket til mer generell projeksjon (geometri) på andre språk. Det er en del av mer generell deskriptiv geometri. Se også gamle forelesninger av Elling Holst. For mer, se forelesninger Darmstadt Darstellende Geometrie. Stored in 2021. Også i Boyer book History of Math p.519 er god og kompakt beskrivelse av Monge's opprinnelige Descriptive Geometrie.
• Borcherds Youtube, Intro Algebraic Geometry, lecture series - He is always very good
• M.P. Hitchman, Möbius-transformasjoner og hyperbolsk/elliptisk geometri. Very good websides
• Riemann-sfære, nytt navn og redigert innhold
• Projektiv linje med reell Möbius-transformasjon. God intro av Pamfilos. Entydig bestemt med hvordan de tre punktene 0 ,1 og ∞ går. Se detaljer av utledning her og mer generelt engelsk WP projective line. Meget god intro til dette i Stillwells bok Four Pillars of Geometry. Fixed points on line under Möbius transformations discussed by NN on arXiv 1804.00639. Also very useful is Cut-the-Knot article Involutions in the projective line. very good examples are given by U. St Andrews.
• Youtube, Dirac's belt trick, Topology, and Spin ½ particles, EXCELLENT
• T. Opsahl, Basic Projective Geometry, UNIK-4690 forelesning, good overview. Stored in 2021.
• Utvid hyperbolsk geometri
• Engelsk WP, Hyperbolic triangle, must be done a la sfærisk trekant
• Mark Burgess, Zlibrary, all kinds of books
• Sfærisk geometri og elliptisk geometri i planet og høyere dimensjoner. Finnes allerede en storsirkel.
• NN, Paul Guldin and Pappus theorem involving centre-of-mass
• Leinaas FFV, Noether's theorem pluss alt om Joule v/EHH
• N. Miller, Noether's theorems and Bremsstrahlung: A pedagogical introduction to large gauge transformations and classical soft theorems, basics about gauge symmetries, Harvard 2021

• MacTutor, Steiner bio, very good. Steiner became friend with Abel and Crelle in Berlin.
• Jacob Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie, B.G. Teubner, Leipzig (1867). Starter ut med potensen til et punkt etc .....
• Jacob Steiner, Vorlesungen über synthetische Geometrie, B.G. Teubner, Leipzig (1867). En annen utgave?

• Tysk WP, Satz von Steiner,
• Tysk WP, Ellipse, på slutten av artikkel illustrasjon med figurer av konstruksjon av ellipse

• Stackexchange, Elementary questions

• Bjørn Jahren, Hyperbolic Geometry, in 2021.
• R.J. Trudeau, The Non-Euclidean Revolution, Birkhäuser, Boston (2001). ISBN 978-0-8176-4237-2. Looks very interesting, and different.
• Tiffani Traver, Trigonometry in the Hyperbolic Plane, excellent intro, stored in 2021. On first pages shows how geodesic circles in Poincare disk model can be found by sirkelinversjon. On p.9 explains content of hyperbolic angle
• Caroline Series, Hyperbolic Geometry MA 448, excellent lecture series with intro to Fuchsian groups. Stored in 2021
• NN, Lectures on hyperbolic plane and Fuchsian groups
• Mark Burgess, Zlibrary, all kinds of books
• J. Milnor, Hyperbolic Geometry history
• J. Stillwell, Sources of Hyperbolic Geometry, GET IT
• H. Poincare, Non-Euclidean Geometries, interesting translation of original
• H. Poincare, Théorie des groupes fuchsiens, stored in 2021.
• NN, Hyperbolic geometry history with some interesting comments about Poincare and naming of Fuchsian groups
• Francis Bonahon, Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots, excellent and stored fully from Zlibrary in 2021.

Bonahon p. 23 writes that while a general Möbius-transformation is

${\displaystyle z'={az+b \over cz+d}}$

with (a,b,c,d) all C, will be an isometry of upper half-plane taking circles orthogonal to x-axis (geodesics) to similar circles be given by same-looking transformation, only with important difference that (a,b,c,d) all R and ad - bc = 1.

• Engelsk WP, Hyperbolic triangle
• Russisk WP, hyperbolsk triangle, har formler som betyr at også i hyperbolsk geometri finnes dual trekant
• Manchester U, Hyperbolic Geometry, excellent with Möbius transformations, Fuchsian groups und alles. Stored in ICloud as HyperbolicGeometry Manchester

Story of Beltrami in Pisa and how he developed hyperbolic geometry, is well told by Arcozzi. Beltrami i 1865 tok utgangspunkt gnomisk projeksjon av en kule på et plan. Dette var på samme tidspunkt ca 1865 som Riemann var i Pisa for å ta vare på sin tuberkulose.

Planet har koordinater (u,v) og kulen med radius R har sitt sentrum i en avstand a over planet. Projeksjonen skjer fra kulens sentrum slik at alle storsirkler på kulen (geodesics) blir rette linjer, noe som allerede var observert av Lagrange. Punkt på kuleflaten er gitt ved (θ,φ) og har dermed metrikk

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Projisert punkt er nå ${\displaystyle u=r\cos \phi }$ og ${\displaystyle v=r\sin \phi }$ hvor ${\displaystyle r=a\tan \theta }$. Det gir

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={r^{2} \over a^{2}+r^{2}}}$

hvor ${\displaystyle r^{2}=u^{2}+v^{2}}$ slik at ${\displaystyle rdr=udu+vdv}$. Tar man den deriverte av ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ fåes

${\displaystyle \sin \theta \cos \theta d\theta ={a^{2}rdr \over (a^{2}+r^{2})^{2}}}$

som kvadrert gir

${\displaystyle r^{2}d\theta ^{2}={a^{2} \over (a^{2}+r^{2})^{2}}(udu+vdv)^{2}}$

Nå er også ${\displaystyle \tan \phi =v/u}$ som gir

${\displaystyle {d\phi \over \cos ^{2}\phi }={r^{2}d\phi \over u^{2}}={udv-vdu \over u^{2}}}$ som betyr at ${\displaystyle d\phi =(udv-vdu)/r^{2}.}$

Innsatt i kulemetrikken tar den da formen

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={R^{2} \over r^{2}(a^{2}+r^{2})^{2}}\left[a^{2}(udu+vdv)^{2}+(a^{2}+r^{2})(udv-vdu)^{2}\right]\\&={R^{2} \over (a^{2}+r^{2})^{2}}\left[(a^{2}+v^{2})du^{2}-2uvdudv+(a^{2}+u^{2})dv^{2}\right]\end{aligned}}}$

Beltrami brukte gamle forslag fra Lambert(?) at hyperbolsk kule er den på kule med imaginær radius. Derfor lot han R² → - R² og derfor som andre lengder a² → - a². Dermed går metrikken over til

${\displaystyle ds^{2}={R^{2} \over (a^{2}-r^{2})^{2}}\left[(a^{2}-v^{2})du^{2}+2uvdudv+(a^{2}-u^{2})dv^{2}\right]}$

som er Beltrami-metrikken for hyperbolsk plan med konstant krumning K = -1/R². Samme metrikk med rette linjer som geodesics fant Klein etterpå ca 1871 med metrikk fra dobbeltforhold a la projektiv geometri.

Metrikken kan også skrives på litt mer kompakt form ved å innføre euklidsk vektor ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v).}$ som gir

${\displaystyle ds^{2}={d\mathbf {u} ^{2} \over 1-\mathbf {u} ^{2}}+{(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}}$

etter å ha satt R = a = 1. Her er det a som setter skalaen for alle koordinater, men R forandres derav ikke.

• Sanne Jonker, Hyperbolic geometry, NL student thesis on Beltrami-Klein and Poincare models,
• N. A'Campo and Papadoupolos, On Klein's so-called non-Euclisean paper, geat historical review
• M.P. Hitchman, Hyperbolic distances
• Caroline Series, Hyperbolic geometry, very good

Eller bedre å si maksimalt symmetriske rom. Weinberg i sin bok Gravitation har helt i begynnelsen meget gode kommentarer om geometrier og Beltrami-Klein-metrikk. Senere i kapitel om Symmetric Spaces utleder på enkelt vis både sfærisk og hyperbolsk metrikk på formen

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}{\Big [}d\mathbf {x} ^{2}+{k(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over 1-k\mathbf {x} ^{2}}{\Big ]}}$

hvor k = +1 for sfærisk og k = - 1 for hyperbolsk geometri. Dette er den romlige delen av RW-metrikken som Weinberg har p. 403.

I sfærisk tilfelle med k = 1 gir ${\displaystyle \mathbf {x} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$ der ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi ,}$ ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$ og ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ gir dette ved direkte utregning at

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+{(rdr)^{2} \over 1-r^{2}}={dr^{2} \over 1-r^{2}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

Dettte er utledet i et rom med en høyere dimensjon og med metrikk ${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} ^{2}+kdz^{2}}$ hvor legger inn generell kuleflate ${\displaystyle k\mathbf {x} ^{2}+z^{2}=1.}$ Dette er hyperboloidemodellen eller Minkowski-modellen da metrikken er den samme. På flaten er nå

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} ^{2}+k{(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over z^{2}}=d\mathbf {x} ^{2}+{k(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over 1-k\mathbf {x} ^{2}}}$

For det 2-dimensjonale hyperbolske planet kan koordinatisere med ${\displaystyle x=\sinh \chi \cos \phi ,}$ ${\displaystyle y=\sinh \chi \sin \phi }$ og ${\displaystyle z=\cosh \chi .}$ Det gir

${\displaystyle ds^{2}=d\chi ^{2}+\sinh ^{2}\!\chi \,d\phi ^{2}}$

Transformation to other coordinate system Weinberg p. 412 says ${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} /(1+\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}}$ which should give Beltrami's original version from gnomonic projection. See also Blog for newcomers!

Ved bruk av Minkowski-rommet er hvert punkt på hyperboloiden ${\displaystyle z^{2}=1+\mathbf {x} ^{2}}$ gitt ved koordinater ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ hvor ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y).}$ Beltrami-koordinatene ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v)}$ er gitt ved det punkt på planet z = 1 som den rette linje fra origo til P ligger. Derfor er

${\displaystyle \mathbf {u} ={1 \over z}\mathbf {x} ={\mathbf {x} \over (1+\mathbf {x} ^{2})^{1/2}}\Rightarrow \mathbf {x} ={\mathbf {u} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{1/2}}}$

Vi kan nå utlede Beltrami-metrikken fra Minkowski-metrikken. Først har vi at

${\displaystyle d\mathbf {x} ={d\mathbf {u} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{1/2}}+{\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} ) \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{3/2}}\Rightarrow \mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}}$

${\displaystyle {(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over 1+\mathbf {x} ^{2}}={(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{3}}}$

Nå er Minkowski-metrikken på hyperboloiden for k = -1

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} ^{2}-{(\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} )^{2} \over 1+\mathbf {x} ^{2}}}$

som gir

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={d\mathbf {u} ^{2} \over 1-\mathbf {u} ^{2}}+2{(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}+\mathbf {u} ^{2}{(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{3}}-{(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{3}}\\&={d\mathbf {u} ^{2} \over 1-\mathbf {u} ^{2}}+{(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2} \over (1-\mathbf {u} ^{2})^{2}}\end{aligned}}}$

Denne fremkommer ved å projisere et punkt på hyperboloiden (x,z) på planet z = 0 med Poincarés kulekoordinater y = (y₁,y₂, ... y_n). Det betyr at

${\displaystyle \mathbf {y} ={\mathbf {x} \over 1+z}}$

der hyperboloiden er ${\displaystyle z^{2}=1+\mathbf {x} ^{2}.}$ Det betyr at

${\displaystyle 1-\mathbf {y} ^{2}={1+2z+z^{2}-\mathbf {x} ^{2} \over (1+z)^{2}}={2 \over 1+z}}$

Dermed blir den inverse transformasjonen

${\displaystyle z={1+\mathbf {y} ^{2} \over 1-\mathbf {y} ^{2}},}$

mens

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} (1+z)={2\mathbf {y} \over 1-\mathbf {y} ^{2}}}$

Det hyperbolske rommet er dermed transformert til insiden av Poincarés n-dimensjonale kule gitt ved begrensningen ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}\leq 1}$ der overflaten av kulen tilsvarer punkt uendelig langt borte.

Ved detaljerte derivasjoner finner man

${\displaystyle dz=2(\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} )\left[{1 \over 1-\mathbf {y} ^{2}}+{1+\mathbf {y} ^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}\right]={4\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} ={2d\mathbf {y} \over 1-\mathbf {y} ^{2}}+{4\mathbf {y} (\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} ) \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&={4d\mathbf {y} ^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}+{16(\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} )^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{3}}+{16\mathbf {y} ^{2}(\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} )^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{4}}\\&={4d\mathbf {y} ^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}+{16(\mathbf {y} \cdot d\mathbf {y} )^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{4}}\end{aligned}}}$

Den hyperbolske metrikken kan nå beregnes fra ${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} ^{2}-dz^{2},}$ det vil si

${\displaystyle ds^{2}={4d\mathbf {y} ^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}}$

som er metrikken for Poincarés kulemodell.

Nyttig ref. er Bruno Martelli, Hyperbolic Geometry snd 3-Manifolds og boken til Blair, Inversion Theory and Conformal Mapping som ligger i Oslo folder 2021.

Ved en inversjon i en kule med sentrum i Sydpolen til Poincaré-kulen og med radius √2 slik at punkter på kulen blir liggende i ro, vil hele kulen bli transformert til øvre halvrom z > 0. Inversjon i en kule med radius r og i et punkt y₀ = (0,-1) er generelt gitt som

${\displaystyle \mathbf {y} \rightarrow (\mathbf {u} ,v)=\mathbf {y} _{0}+r^{2}{\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0} \over |\mathbf {y} -\mathbf {y} _{0}|^{2}}}$

hvor nå de n  koordinatene til Poincaré-kulen skrives som y = (x,z) hvor nå x og z IKKE er de samme som i Minkowski-metrikken. Dermed blir de nye koordinatene i øvre halvrom

${\displaystyle \mathbf {u} ={2\mathbf {x} \over \mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2}}={2\mathbf {x} \over \mathbf {y} ^{2}+2z+1}}$

${\displaystyle v=-1+{2(z+1) \over \mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2}}={1-\mathbf {y} ^{2} \over \mathbf {y} ^{2}+2z+1}={1-\mathbf {x} ^{2}-z^{2} \over \mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2}}}$

Ved transformasjonen av den opprinnelige metrikken

${\displaystyle ds^{2}={4d\mathbf {y} ^{2} \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}={4(d\mathbf {x} ^{2}+dz^{2}) \over (1-\mathbf {y} ^{2})^{2}}}$

behøver vi komponentene i Jacobi-matrisen

${\displaystyle du_{i}={\partial u_{i} \over \partial x_{j}}dx_{j}+{\partial u_{i} \over \partial z}dz}$

${\displaystyle dv={\partial v \over \partial x_{j}}dx_{j}+{\partial v \over \partial z}dz}$

På grunn av rotasjonsinvarians om z-aksen vil resultatet av å regne ut ${\displaystyle d\mathbf {u} ^{2}+dv^{2}}$ bli proporsjonalt med ${\displaystyle d\mathbf {y} ^{2}=d\mathbf {x} ^{2}+dz^{2}}$ slik at alle kryssledd på droppe ut. For å finne skalafaktoren i denne konforme transformasjonen er det tilstrekkelig å finne den som koeffisienten til ${\displaystyle dz^{2}}$, i.e. ved å holde x konstant,

${\displaystyle d\mathbf {u} ^{2}+dv^{2}=\left[{\Big (}{\partial \mathbf {u} \over \partial z}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial v \over \partial z}{\Big )}^{2}\right]dz^{2}+\cdots }$

${\displaystyle {\partial \mathbf {u} \over \partial z}=-{4\mathbf {x} (z+1) \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}}$

${\displaystyle {\partial v \over \partial z}={2 \over \mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2}}-{4(z+1)^{2} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}=2{\mathbf {x} ^{2}-(z+1)^{2} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big (}{\partial \mathbf {u} \over \partial z}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\partial v \over \partial z}{\Big )}^{2}&=4{\mathbf {x} ^{4}+4(z+1)^{2}\mathbf {x} ^{2}-2(z+1)^{2}\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{4} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{4}}\\&=4{\left(\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2}\right)^{2} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{4}}={4 \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}\end{aligned}}}$

Det betyr at

${\displaystyle d\mathbf {u} ^{2}+dv^{2}={4d\mathbf {y} ^{2} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}={(1-\mathbf {y} ^{2})^{2}ds^{2} \over (\mathbf {x} ^{2}+(z+1)^{2})^{2}}=v^{2}ds^{2}}$

slik at man finner til slutt

${\displaystyle ds^{2}={d\mathbf {u} ^{2}+dv^{2} \over v^{2}}={1 \over v^{2}}(d\mathbf {u} ^{2}+dv^{2})}$

som er standardsvaret, her generalisert til n dimensjoner.

• B. Martelli, Hyperbolic Geometry and 3-Manifolds, very good where going from ball to half-space explained by anticonformal transformation in sphere at (0,0,-1) and radius √2 including figure of mapping. Stored in 2021.
• Thilo Rörig, Berlin, Lectures on Projective Geometry, very nice web pages
• NN, Inversion in 2-dim using complex coordinates
• M.P. Hitchman, Inversion in 2-dim using complex coordinates, very explicit
• MIT, Möbius transformations in 2-dim using complex coordinates,
• Open Access, Conformal mappings with complex coordinates in 2-dim explicit calculations
• D.E. Blair, Inversion Theory and Conformal Mapping, AMS (2000). Contains all I need. Stored in 2021 as Inversion Theory Blair
• Engelsk WP, Conformal geometry
• Blogg, Inversions are conformal mappings, short and mysterious
• NL student thesis, Conformal mappings, with one, simple example from inversion
• B. Loustau, Poincare Models in higher dimensions. Talks about Cayley transformation = inversion?
• Turkey, Examples of Cayley transformations
• Fransk WP, Transformation de Möbius:

• Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :

1. les isométries de ℝMal:Exp (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions),
2. les homothéties de rapport positif (par composition de deux inversions par rapport à des sphères de même centre).

• Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans ℝMal:Exp par rapport à la sphère S(eMal:Ind, √2) qui, restreinte à ℝMal:Exp, correspond à la projection stéréographique de ℝMal:Exp sur SMal:Exp = S(0, 1) dans ℝMal:Exp. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace ℋMal:Exp = Mal:Nobr et la boule BMal:Exp = Mal:Nobr il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

• Norbert A’Campo and Athanase Papadopoulos, History Beltrami-Klein Model, in great detail!
• NL student, 2-dim hypebolic models, including inversions to half-plane model with complex coordinates
• NN, Klein, Minkowski, Hyperboloid, Poincare Models
• Student, Hyperbolic plane, converting between different coordinates using hyperbolic functions
• Engelsk WP, Cayley-Klein metric, very good overview of history with many references

• Berkeley, General intro
• N. Arcozzi, Beltrami's models of Non-Euclidean Geometry, historical presentation. Stored in 2021
• Stackexchange, Beltrami being discussed
• Bjørn Jahren, Geometric Structures in Dimension two, very good on hyperbolic geometry and Möbius transformations. Stored in 2021
• NN, Coordinates in 3-dim hyperbolic space
• Engelsk WP, Hyperbolic geometry, se lenger ned på siden hemispherical models
• Fransk WP, Géométrie hyperbolique, generell oversikt
• Fransk WP, Disque de Poincaré, Beltrami-model ved projeksjon fra hyperboloide
• J. Milnor, Hyperbolic Geometry: The First 150 Years, stored in 2021
• W.P. Thurston, Hyperbolic Geometry, very interesting and different
• Solheim, Student thesis with great details and history about Beltrami and mapping between models
• Cannon et al, Hyperbolic Geometry, great overview. Stored in 2021
• Encyclopediaofmath, Klein interpretation og hyperbolic geometry based on projective geometry and an absolute conic. Published in 1871 as "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie" Gött. Nachr. (1871) pp. 419–433
• S. Weinberg, Gravitation, contains excellent derivation of metric on symmetric spaces and metrics of the Beltrami-Klein form in 2-dim

• Norman Wildberger, Perpendicularity, polarity and duality on a sphere, Youtube, Universal Hyperbolic Geometry 37: Two lines are perpendicular (great circles on sphere) when one passes through the pole of the other. For a point P on the sphere its polar is the line (great circle) perpendicular to the diameter (axis) through P.

• Cornell, Duality and Polarity, discusses North- South Pole in elliptic geometry. In projective geometry with an elliptic polarity a point cannot be on its own polar, only in plane with a hyperbolic polarity. Saved in 2021.
• J.W. Russell, An elementary treatise on pure geometry with numerous examples, Clarendon Press, Oxford (1893). Includes polare to two lines.
• Cornell, Projectivities and Collineations, also very good
• Cornell, Hyperbolic Geometry, also very good

In 2-dim real, projective plane points are given by line through origin of 3-dim space hitting surrounding sphere in point with coordinates (x,y,z), while lines are given by planes through origin and correspond to great circles on sphere with coordinates [u,v,w] which are the components of the direction of the normal to the corresponding plane. A point with homogeneous coordinates (x,y,z) is incident on a line [u,v,w] when ux + vy + wy = 0 which means that the two corresponding vectors in 3-space are perpendicular.

A point P in 2-dim projective plane is given by vector

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

The elliptic polarity α will now take this into the line with coordinates

${\displaystyle \alpha \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{0},y_{0},z_{0}\end{bmatrix}}}$

• Boyer, History of Math, p.356 writes that it was Kepler that thought of 5 different kinds of conics, all with two foci instead of the 3 by Apollonius. For two intersection lines the two foci is merged together in point of intersection. When they start to move apart, this degenerate conic evolves into a hyperbola which turns into one parabola as one focus goes to infinity. When it appears again on the other side, the conic is turned into an ellipse which becomes a circle when the two foci merge again.

The stereographic projection relates to the plane inversion in a simple way. Let P and Q be two points on the sphere with projections P′ and Q′ on the plane. Then P′ and Q′ are inversive images of each other in the image of the equatorial circle if and only if P and Q are reflections of each other in the equatorial plane.

• Julian Lowell Coolidge, A History of Geometrical Methods, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-49524-8. On pp. 278-282 says that circular inversions were first studied by Pappos. Later rediscovered by Steiner, but in a hidden way. From other sources I have that Plücker was the one who made it known. More general transformations of circles and lines in the plane were undertaken by Möbius in 1855 in his work Theorie der Kreisverwandschaft. Her he stated that any transformation in the plane that carries lines and circles into lines and circles is a product of inversions and reflections. It is conformal. This leads to the general Möbius transformation as a fractional linear transformation of a complex variable. Can be related to transformations of plane cutting sphere in a stereographic projection which here is explained in an excellent way. Coolidge also discusses at the end inversion symmetries to higher dimensions which is much more restricted.
• D. Pedoe, A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2. Gives detailed presentation of circle inversion and more general Möbius transformations in the plane. States explicitly that the inversion in the Möbius transformations is really an actual inversion followed by a reflection in the x-axis, i.e. complex conjugation. On p.439 and Excerise 57.11 inversion in circle ${\displaystyle azz^{*}-bz^{*}-zb^{*}-c=0}$ with a and c real. This circle has center in complex number b/c and radius

${\displaystyle r^{2}=bb^{*}/a^{2}+c/a}$

Result of transformation is ${\displaystyle z'={bz^{*}+c \over az^{*}-b^{*}}}$ som altså er en uekte Möbius-transformation. Når a = 0 er dette refleksjon i en linje. Produktet av to slike gir en ekte Möbius-transformation. På slutten av boken gir Pedoe innføring i inversjoner i tre dimensjoner, kvadrikker etc som er relevant for Lie-geometri.

• J.L. Coolidge, A Treatise on the Circle and the Sphere, Clarendon Press, Oxford (1916). Also very useful for circle transformations on p. 312 etc. States there that it was Möbius who first showed that cross ratio was invariant under what is now called Möbius transformations.
• Cut-the-Knot, Locus of Points in a Given Ratio to Two Points
• P. Pamfilos, Apollonian Circles, Geometrikon. Godt forklart geometrisk bevis for Apollonios' sirkel
• UiO, Trekanter i planet, MAT4010
• Coxeter and Greitzer p.114 in Exercise 1 &2 relates inverse points to Apollonios' sirkel
• UW, Circle inversion and Apollonios' sirkel
• Tom Davis, Circle inversions with many applications
• Italiensk WP, Inversione circolare
• Whistleralley, Inversion Geometry
• Cut-the-Knot, Inversion: Reflection in a Circle?
• Cut-the-Knot, Apollonian Circles Theorem, inverting Apollonios' circle by inversion. See CG p. 114 and
• Cut-the-Knot, Apollonian Circles and harmonic division
• Pamfilos, Inversion Transformation, Geometrikon, geometriske websider.
• Apollonios' sirkel, se italiensk WP og spesielt tysk WP. Også Cut-the-Knot and here for connection to inversion and relation to harmonic division
• Engelsk WP, Conformal geometry and conformal mapping
• Tysk WP, Inversion (Geometrie), very good
• Engelsk WP, Inversive geometry
• Russisk WP, Geometrisk inversjon, med inversjon av parabel, og Apollonios' sirkel.
• Italiensk WP, Inversione circolare med gode figurer for innvendig og utvendig konstruksjon
• B.C. Patterson, The Origins of the Geometric Principle of Inversion, Isis 19(1), 154-180 (1933). Stored in 2021
• Engelsk WP, Inversion in a sphere
• A. De Morgan, Trigonometry and Double Algebra, London (1849). A marvelous book where hyperbolic angle is explained plus much more. History behind angle in English WP Hyperbolic angle.
• Hartmann, Darmstadt TU, Circle Geometries, saved in 2021

• G.A. Jones and D. Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge University Press, England (1997). ISBN 0-521-31366-X. Google Book. Perfect for Möbius-transformations
• John Olsen, Möbius transformations, very useful
• Petra Youtube, Möbius transformations, part of lecture series
• Engelsk WP, Möbius transformation gir god orientering og fyldige referanser til Felix Klein etc.
• T.K. Carne, Cambridge U, [https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tkc/complex_2007/Chapter3.pdf CP¹ and Möbius-transformations
• T.K. Carne, Cambridge U, Geometry and Groups, excellent on Möbius-transformations and Fuchsian groups
• Felix Klein, Online publications, here is it all
• Felix Klein, Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, London 1888. Here it is said on p. 31 that the use of complex variables z = x + iy was initiated by B. Riemann and extended by C. Neumann in his work Vorlesungen uber Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale, Leipzig (1865). Klein also refers to same use in projective geometry from 1875. See also Google Book From Riemann to Differential Geometry and Relativity
• Carl Neumann, Das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann'schen Flächen, (B. G. Teubner, 1865), kanskje mer en innføring før neste verk
• Carl Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (B. G. Teubner, 1865)
• Carl Neumann,Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (B. G. Teubner, 1865). Bedre å lese
• Felix Klein, Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen engelsk oversettelse. Excellent intro to Riemann, basert på strømningsteori. Stored in 2021.
• Stillwell i Four Pillars p.182 skriver at det var Möbius som i 1855 utviklet sine transformasjoner i planet fra reflections in circles, i.e. circle inversions i sitt verk Theorie der Kreisverwandschaft
• D.E. Blair, Inversion Theory and Conformal Mapping, AMS (2000). Stored in 2021
• A.F. Möbius, Theorie der Kreisverwandschaft, (1855), bare geometri, ingen komplekse variable!!. Google Book
• A.F. Möbius, Theorie der Kreisverwandschaft, 1855. Original, men langsom å lese.
• NN, Möbius-transformations, simple properties w/examples
• NN, Fuchsian groups, intro
• UiO, Möbius-transformations and fixed points
• CS, Möbius-transformations basics and fixed points
• Tysk WP, Möbius-transformastion schreibt:
• Aus diesem Grund ist die Gruppe der Möbiustransformationen auch genau die Isometriegruppe des dreidimensionalen hyperbolischen Raums ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$. Dieser besitzt als Rand im Unendlichen die riemannsche Zahlenkugel. Eine Isometrie des hyperbolischen Raumes entspricht eindeutig einer konformen bijektiven Selbstabbildung des Randes im Unendlichen und umgekehrt.

• Durham, Möbius transformations from circle inversions
• Stackexchange, Cross ratio on circle
• Stackexchange, Some history of circle inversion
• P. Pamfilos, Projective Line, Geometrikon
• P. Pamfilos, Cross Ratio definitions, p.12 different coordinates, including projective
• P. Pamfilos, Projective Plane, Geometrikon. On page 17 construction of polar wrt triangle
• P. Pamfilos, Circle inversion, cross ratio of four points goes to complex conjugate cross ratio of transformed points, i.e. must be real for points on circle.^[1]
• H.S.M Coxeter, Projective Geometry, Springer-Verlag, New York (1987). ISBN 0-387-40623-9.
• Absolute points I and J and definition of circle from these in Faulkner pp. 70-75
• NN, Projective geometry history from Dürer, Desargues, Monge, Poncelet etc
• Cut-the-Knot, Cross Ratio intro, where invariance under inversion proved at very end.^[2]
• Geometrikon, Cross ratio for complex numbers
• Geometrikon, Cross ratio intro
• E. Weisstein, Cross Ratio, Wolfram MathWorld
• UCSD, Complex plane and Möbius transform with Apollonius circle at the end.
• TU, Complex line transformations, interesting!
• Sweden, Circle inversion, very good. Kan brukes til å skrive sirkelinversjon eller inversjonsgeometri
• Courant and Robbins, p.178: Most basic definition of projective transformation from central perspectives. Punktene er i perspektiv med de andre punktene
• MIT, Cross Ratios and Conics, inversive plane, complex coordinates, pole/polars, Octagrammum Mysticum. Stored in 20212

I boken av Wylie om Projective Geometry skriver han helt i begynnelsen om en plan perspektivet, altså sentralprojeksjon fra plan til plan. Den har alltid en akse med fikspunkt som et isolert fikspunkt som er et bilde av projeksjonseneteret. Når det fikserte punktet ligger på aksen, kalles den en elation etter Sophus Lie.

En perspektivitet på en linje er beskrevet ved en reell Möbius-transformasjon PGL(1,R). Fikspunkt er da gitt ved vanlig andregradsligning med to reelle løsninger (hyperbolsk), to sammenfallende (parabolsk) eller to komplekse, i.e. ingen reelle (elliptisk). I dette tilfellet representerer transformasjonen en generell projektivitet som kan skrives som produktet av to perspektiviteter. Perspektiviteter i planet er meget godt forklart av Pamfilos

• Engelsk WP, Collineation writes:

The idea of a line was abstracted to a ternary relation determined by collinearity (points lying on a single line). According to Wilhelm Blaschke^[3] it was August Möbius that first abstracted this essence of geometrical transformation:

What do our geometric transformations mean now? Möbius threw out and fielded this question already in his Barycentric Calculus (1827). There he spoke not of transformations but of permutations [Verwandtschaften], when he said two elements drawn from a domain were permuted when they were interchanged by an arbitrary equation. In our particular case, linear equations between homogeneous point coordinates, Möbius called a permutation [Verwandtschaft] of both point spaces in particular a collineation. This signification would be changed later by Chasles to homography. Möbius’ expression is immediately comprehended when we follow Möbius in calling points collinear when they lie on the same line. Möbius' designation can be expressed by saying, collinear points are mapped by a permutation to collinear points, or in plain speech, straight lines stay straight.

Contemporary mathematicians view geometry as an incidence structure with an automorphism group consisting of mappings of the underlying space that preserve incidence. Such a mapping permutes the lines of the incidence structure, and the notion of collineation persists.

As mentioned by Blaschke and Klein, Michel Chasles preferred the term homography to collineation. A distinction between the terms arose when the distinction was clarified between the real projective plane and the complex projective line. Since there are no non-trivial field automorphisms of the real number field, all the collineations are homographies in the real projective plane,^[4] however due to the field automorphism of complex conjugation, not all collineations of the complex projective line are homographies. In applications such as computer vision where the underlying field is the real number field, homography and collineation can be used interchangeably.

• Engelsk WP, Homography er dette klarlagt enda bedre.

• P. Pamfilos, Perspectivity, Geometrikon:
• A perspectivity is a projectivity (see Projectivity.html ) fixing the points of a line (a), called the axis of perspectivity, and leaving invariant all the lines through a point A, called the center of perspectivity.
• If point A is not contained in line (a), then the perspectivity is more specifically (Sophus Lie 1842-1899) called a homology.
• If point A is contained in line (a), then the perspectivity is called an elation.
• Algebraically, perspectivities are characterized by the fact that they have a line (a) consisting entirely of fixed points. They are represented by matrices having two real and equal eigenvalues and discussed here.
• P. Pamfilos, Projectivity where 3x3 matrix constructed by example

• Elling Holst, Plangeometrisk kursus for realgymnasiet, H. Aschehoug & Co, Kristiania (1885). På slutten p. 79 definere harmonisk deling og fullstendig firkant med generaliserte diagonaler på en meget god måte. På neste side også kommentar om pol og polare basert på slik firkant med harmonisk innhold as shown already by Desargues.
• Engelsk WP, Complete quadrangle
• Nederlandsk WP, Harmonisk deling, bevis med bruk av Menelaus og Ceva.^[1]
• Fransk WP, Division harmonique, med extra insights og polare til to linjer som skjærer hverandre
• Fransk WP, Quadrilatère complet med Newtons linje
• Stackexchange, Proof of Newton's line using homogenous coordinates
• Engelsk WP, Newton-Gauss line med mer utfyllende tekst om complete quadrangle and history
• E.Weisstein, Diagonal Triangle, Wolfram MathWorld. With very useful figure and refs.
• Jacob Steiner, Steiner theorems on the complete quadrilateral, with proofs
• Geometrikon, Newton's Theorem with simple proof using Menelaus
• Geometrikon, Conics inscribed in quadrilaterals and the Newton line. Very good
• Geometrikon, Circle inscribed in quadrilateral from which general case follows
• Cut-the-Knot, Better definition of complete quadrangle
• Cut-the-Knot, Straight Edge Construction of Polar, using harmonic property of complete quadrangle
• Encyclopedia of Math, Complete quadrangle
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin Books, p. 36, ISBN 978-0-14-011813-1 where Newton found that center of conic inscribed in quadrilateral lies on this line as cited in engelsk WP Newton-Gauss-line

• R. Southwell, Constructing The Dual Of A Quadrangle - The Thirteen Point Configuration, Youtube
• R. Southwell, Projective Geometry 7 Harmonic Quadrangles & The 13 Configuration, Youtube

• Lecture 0, Why perspective drawings work
• Lecture 1, Geometry without equations, conics etc
• Lecture 14, perspectivities between points and lines. Background in #4, 5 or 6
• Thales eller Tales? F.ex. benyttes Thales i NAB for prinsipp.
• H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0. Contains simple proofs of Menelaus, Pappos, Desargues, etc. General conic from inversion of a circle, inversion geometry, intro projective geometry. Stored in 2021.
• R.A. Johnson, Modern Geometry, Houghton-Mifflin, Boston (1929) og i nyere utgave som Advanced Euclidean Geometry, Dover Books, New York (2007). ISBN 978-0-486-46237-0.

• God bakgrunn i appendix til boken av Mathews & Walker samt volume II av M. Kline hvor det fortelles mer om hvordan Riemann tenkte og også hvordan Cauchy kom frem til sitt integralheorem. Ikke så direkte, men fint bevis i M. Kline p. 639 hvor Green's sats brukes sammen med Cauchy-Riemann.
• M. Kline, Vol II, pp 550 tells how different singularities on algebraic curves gives rise to curve having different branches from a singular point and how MacLaurin related this deficiency or arithmetical genus to the later topological genus of Riemann Surfaces. Also much good about this stuff in Stilwell's book Mathematics and its history
• M. Kline, Vol II, pp. 626 and onward about kompleks analyse og Riemanns oppdagelser av sine flater. Denne siden om kompleks analyse må utvides med det første
• See also many refs on Sandkasse-94/Abel, Jacobi and Riemann
• Bent Birkeland, Georg Friedrich Bernhard Riemann, kort og konsis bio
• SNL, Bernhard Riemann
• R. Tazzioli, Bernhard Riemann bio
• Y. Lekili, Riemann Surfaces
• APS News, Bernhard Riemann
• Agnieszka, Algebraic Curves and Geometry, Riemann surfaces, Abel addition theorem etc. EXCELLENT. Stored in 2021 and on iPad.
• Norman Wildberger, Complex plane and Riemann sphere
• Encyclopediaofmath, Riemann Surfaces
• W. Schlag, Basic Complex Analysis
• NN, Short intro Riemann surface
• Gathmann, Algebraic Curves, also very good. Stored in 2021 and on iPad.
• Youtube, Lectures on Riemann surfaces by Indian
• Youtube, Imaginary Numbers are Real, Lecture 13 about visualisation of Riemann surface
• Youtube, Imaginary Numbers are Real, Lecture 1. These lectures are excellent
• Youtube, Riemann's life, 18 min
• Youtube, Marcus Berg, Riemann surfaces. Only three main classes: 1) Riemann sphere, genus = 0, curvature +1, torus C/Λ, genus =1, curvature = 0, hyperbolic H/Γ, genus > 1 and curvature -1. Notice that surface with g > 1 is torus with several holes. Again this is how it is depicted in R³, but in 4-dim it is really a hyperbolic surface with negative curvature. Video includes also a lot about conformal transformations on Riemann surfaces.
• A complex, projective non-singular algebraic curve is the same thing as a (connected) compact Riemann surface, which topologically are compact oriented surfaces.
• Tysk WP, Algebraische Kurve, very good overview - også Riemann-flater. Definerer fint duale kurver som kan tas med algebraisk kurve pluss projektive egenskaper
• Italiano, Riemann bio, long and detailed in italiano. Stored in 2021
• Britannica, Bernhard Riemann
• Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer, New York (1981). ISBN 978-1-4612-5963-3. Textbook
• NN, Riemann bio
• Purdue, Algebraic geometry with pictures
• Otte Hustad, Hovedfagsforelesninger i kompleks funksjonsteori, UiO 1982.
• UiB, Professor i hemmelig tjenenste, Ernst S. Selmer utrolige liv. Stored in 2021
• UiO MAT4250, Elliptic curves 1, excellent. In 2021
• UiO MAT4250, Elliptic curves 2
• UiO MAT4250, Elliptic curves 3, excellent. In 2021
• UiO MAT4800, Riemann surfaces
• Teleman, Riemann surfaces, excellent intro. Stored in 2021
• Garrett, Complex analysis homepage
• Garrett, Elliptic function, periodic functions, very soft intro
• Garrett, Riemann surfaces, ok intro
• HAL, Riemann Surface history, very interesting. Check book by Weyl which made it all clear:
• H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Verlag B.G. Teubner, Leipzig und Berlin (1913).
• Stackexchange, Calculation of genius
• Silvermann and Tate, Rational Points on Elliptic Curves, very good intro! Explaining connection between divisors of curve and Abel addition theorem. Stars out with Fermat and Axel Thue what today is relevant for elliptic curves.
• Mactutor, Axel Thue bio, more detailed than Axel Thue (matematiker)
• Juliana Coelho, Abel addition theorem complex curves divisors
• R. Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces, excellent intro textbook. Stored in iPad.
• NN, Lecture notes in algebraic curves and Riemann Surfaces, very useful with simple illustrations. Stored in 2021 as Riemann Surface Intro
• S.K. Lau, A Study on Riemann Surfaces and Algebraic Curves, seems to be summary of above Miranda textbook. Stored in 2021
• See my own files in Wikipedia/Elliptic etc
• NN, Geodesics on torus
• E. Weisstein, Torus and its geometry
• Engelsk WP, Clifford torus, flat when embedded in R⁴
• D. Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866: Turning Points in the Conception of Mathematics, with. bio
• Youtube, Road to Berlin, general Henrici and the Russians towards Berlin

Mye bra oversikt i M. Kline, Vol.2, pp.660-670!

• Felix Klein, Online publications, here is it all
• Felix Klein, Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree, London 1888. Here it is said on p. 31 that the use of complex variables z = x + iy was initiated by B. Riemann and extended by C. Neumann in his work Vorlesungen uber Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale, Leipzig (1865). Klein also refers to same use in projective geometry from 1875. See also Google Book From Riemann to Differential Geometry and Relativity
• D. Ying, Riemann surfaces history, kort og oversiktlig. Stored in 2022
• HAL, History Riemann surfaces, moduli and Teichmüller spaces
• Carl Neumann, Das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann'schen Flächen, (B. G. Teubner, 1865), kanskje mer en innføring før neste verk
• Carl Neumann, Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (B. G. Teubner, 1865)
• Carl Neumann,Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (B. G. Teubner, 1865). Bedre å lese
• Hermann Weyl, The Concept of a Riemann Surface, well known textbook!
• Wichita, Conformal metric on Riemann surface
• Svensk student Youtube, Riemann surfaces
• Borcherds Youtube, Divisors on Riemann surfaces
• Felix Klein, Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen engelsk oversettelse. Excellent intro to Riemann, basert på strømningsteori. Stored in 2021.
• B. Springborn, Riemann surfaces and Abelian differentials, Abel mapping, divisor = 0-chain and Abel's Theorem.
• B. Springborn, Geometry, also hyperbolic, projective, Möbius and much more. In Oslo Mathematics and Dropbox.
• Engelsk WP, Uniformization theorem
• Bobenko, Berlin, Komplexe Analyse, very good! In Dropbox.
• Bobenko, Berlin, Introduction to Riemann surfaces. In iCloud and Oslo Mathematics folder. Somewhat longer version in Dropbox. Basic homology p.23, principal divisors.
• D. Ferus, Komplexe Analysis, in iCloud and Oslo Mathematics folder. At end clear presentation Weierstrass function and modular fun.
• M. England, Hyperelliptic function and Riemann surfaces, very clear discussion of RS, periodematriser og Jacobi-torus med Abel theorem, i.e. Abel-Jacobi-avbildning. In iCloud. Første kapitel summerer opp alt som behøves!
• Wikipedia, Abel-Jacobi map
• S. Kleinermann, The Jacobian, Abel-Jacobi map and Abel's theorem, in Oslo Mathematics folder.
• B. Dribus, Abel's Theorem, simple and helpful about divisors and the Abel map.
• S.L. Kleiman, What is Abel's Theorem Anyway?, talk at Abel Symposium 2002. Reviews Abel's different formulations of theorem. S L Kleiman, What is Abel's theorem anyway? in The legacy of Niels Henrik Abel (Springer, Berlin, 2004), 395-440.
• Steven Kleiman, What is Abel's Theorem Anyway?, compact version of above for dummies!
• Chigago, Abel's theorem on RS
• Encyclopedia of Math, Abelian differential
• Encyclopedia of Math, Abelian integral
• Looinjenga, Riemann surfaces for master students using differential forms.
• Looinjenga, Differential Geometry slightly above MTW, but readable. Also good definition of hyperbolic space as upper sheet of hyperboloid in euclidean space.

• Fra engelsk WP, Hyperbolic space:

Two-dimensional hyperbolic surfaces can also be understood according to the language of Riemann surfaces. According to the uniformization theorem, every Riemann surface is either elliptic, parabolic or hyperbolic. Most hyperbolic surfaces have a non-trivial fundamental group π₁=Γ; the groups that arise this way are known as Fuchsian groups. The quotient space H²/Γ of the upper half-plane modulo the fundamental group is known as the Fuchsian model of the hyperbolic surface. The Poincaré half plane is also hyperbolic, but is simply connected and noncompact. It is the universal cover of the other hyperbolic surfaces.

The analogous construction for three-dimensional hyperbolic surfaces is the Kleinian model.

• Courant and Robbins, What is mathematics?, pp. 140-145
• Stilwell, The Four Pillars of Geometry, Oslo bokhylle, p.179 has figure where it is shown that inversion with complex variables is z -> 1/z^* since operation takes place along line through circle centrum.
• M.P. Hitchman, Circle inversion, very good with complex variables
• UCLA, Generating Möbius-transformation a la Greene w/video
• NDSU, Generating Möbius-transformation with inversion as 1/z
• Durham, Möbius-transformations and cross ratio
• Halvor Aarnes, Matematikk og Statistikk
• Cut-the-Knot, Projective butterflies
• Blogg, Inversion with alternative history
• NN, Fun of inversion
• NN-1, Inversion excerises
• Engelsk WP, Inversive geometry, also with complex coordinates
• Engelsk WP, Projective harmonic conjugate, inkluder i harmonisk deling og enkelt bevis i intro geometri bok av Roger Fenn i Oslo. Også bevis for harminsk deling for komplett kvadrilateral i Courant-Robbins pp 179-180
• Tysk WP, Inversion Geometrie, very good with real numbers
• UNCC, Sirkelinversjon med komplekse tall
• Stackexchange, Some history of inversion, cites Plücker. See book by Courant and Robbins pp. 140-145
• Engelsk WP, Inversive geometry, very interesting. More of the same Inversion in a sphere
• Sweden, Circle inversion, very good. Kan brukes til å skrive sirkelinversjon eller inversjonsgeometri
• W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I, Verlag von Julius Springer, Berlin (1921). Original, very good read on Malus-Dupin, p.70, inversion transformations pp 65-67 and much more. Also very simple Lie line-sphere transformation p. 85. Stored in 2021.

• SNL, Pol og polare definert med gode figurer
• Pamfilos, Pole and polar based on harmonic deling
• Engelsk WP, Pole and polar
• Engelsk WP, Inversive geometry
• Tysk WP, Pol und Polare
• Tysk WP, Korrelation in Projektive Geometrie, mer generelt, hyperbolsk(vanlig) og også elliptisk polaritet (på kule)
• Nynorsk WP, Pol og polare og potens til et punkt.
• Mathafou, Harmonic conjugate points and construction of pole/polars
• Dansk WP, Pol og polare fra gamle Absalon Leksikon. Også definisjon av tilsvarende for kjegleflater etc i høyere dimensjon.
• Projekt Runeberg, Pol, Salmonsens konservationsleksikon (1915-1930): Gode definisjoner og historisk oversikt
• Hong Kong math, Poles and polars

• Engelsk WP, Jean-Victor Poncelet
• Britannica, Jean-Victor Poncelet, very good, stating that Poncelet is responsible for introducing duality in projective geometry
• Jeremy Gray, Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century, Springer and excellent, starts out with Poncelet, poles and polars, explains Plücker formulas plus much more. From Amazon.de for 37 euro.
• Anne Synnøve Larsen, Poncelet's Theorem, useful about curves in RP² and CP²
• Boyer, A History of Mathematics, with many details about Poncelot, duality, Gergonne etc etc. Also much about Monge, Carnot and others
• Svensk WP, Jean-Victor Poncelet, with links to Familieboken og norsk bok om Poncelet fra Sophus Lie
• Elling Holst, Om Poncelet's Betydning for Geometrien, 1878. Bedre link på siden om Elling Holst
• Elling Holst, Om Poncelet's Betydning for Geometrien, 1878. Google Book - complete
• MacTutor, Poncelet bio
• Mechthild U. Plump, Julius Plücker – Leben und Werk eines analytischen Geometers im 19. Jahrhundert, doktorgradsavhandling ved Universitetet i Wuppertal (2014). Her på pp 188-192 discussing how Plücker discovered line at infinity and circular points from analysis, while Poncelet had found them synthetically as where parallell lines meet and points where all circles cut each other. On p.256 is told how Poncelet also introduced pol og polare from his principle of reprocity which is like duality. Pol og polare først diskutert i lærebok til Biot, som beskrevet pp 258-260

• Elling Holst, Plangeometrisk kursus for realgymnasiet, H. Aschehoug & Co, Kristiania (1885). På slutten p. 79 definere harmonisk deling og fullstendig firkant med generaliserte diagonaler på en meget god måte. På neste side også kommentar om pol og polare basert på slik firkant med harmonisk innhold as shown already by Desargues. See Harmonic property of polars was known to Apollonius. Deargues extended this by showing that the diameter is the dual to the point at infinity. Also he could show how to construct polar from complete quadrangle. Proof in Johnson, Advanced Euclidean Geometry p. 103 or by Cut the Knot, Constructing polars. Also Wikipedia en:Complete Quadrangle is useful,
• Elling Holst har også skrevet innføring i projeksjonstegning
• Engelsk WP, Pole and polar
• Nynorsk WP, Pol og polare
• Dansk WP, Pol og polare fra gamle Absalon Leksikon. Også definisjon av tilsvarende for kjegleflater etc i høyere dimensjon.
• Hong Kong math, Poles and polars

Jan P. Hogendijk, Connections between Apollonius Conica and Desargues Broullions. Gives constructions of conics, latus rectum etc with general diameters. On page 16 Desargues states that if a point P is on a line q, then the pole of q lies on the polar of P, always wrt a conic. See also book by Morris Kline, Vol.1 where this is said to be La Hire Theorem, which seems to be standard today according to Kline book and others. See Philippe de La Hire som også fines på nn!

• Cut-the-Knot, Pole-polar wrt triangle
• Cut-the-Knot, La Hire Theorem.

Before Apollonius, parabola, hyperbola and ellipse obtained by slicing a cone with right, obtuse or acute vertex angle. Apollonius instead sliced a double cone at various angles keeping the cone vertex angle fixed. He gave names to parabola, hyperbola and ellipse. See bio by T. McElroy, A to Z of Mathematics which contains lots of other interesting bios.

Much of this i mathematically formulated by Ostermann and Wanner, Geometry by its History in same way as in Norwegian gymnasium books. Also discussed here is the Monge circle.

in Google Book History of Analytic Geometry by Boyer one can read how around 1813 Gergonne general proposed duality in geometry between points and lines. But Poncelet had already discovered this between pole and polars, wrt conic section which he announced in 1824. It developed fight between these two. But everything settled later with establishment of projective geometry.

Harmonic property of polars was known to Apollonius. Deargues extended this by showing that the diameter is the dual to the point at infinity. Also he could show how to construct polar from complete quadrangle. Proof in Johnson, Advanced Euclidean Geometry p. 103 or by Cut the Knot, Constructing polars. Also Wikipedia en:Complete Quadrangle is useful, saying that harmonic range of 4 points constructed via complete quadrangle in 1847 by Karl von Staudt.

Wikipedia en:Pole and Polare defines pole and polare via circle inversion, first introduced and discussed by Jakob Steiner. Also by MathWorld, Inversion or more explicitly here Polar line.

• J.N. Cederberg, A Course in Modern Geometries shows on p.293 that when a quadrilateral is inscribed in a conic, then the diagonal triangle is self-polar. This is the underlying reason for construction of polars using two secants.
• Taiwan, Pole and polar wrt to triangle.
• NN, Projective properties of conics, engelsk Master thesis
• UW, Construction of pole and polars from complete quadrangle.
• Cut the Knot, Definition of complete quadrangle and its use to construct polars.
• TU, Berlin, Definitions of complete quadrangles/quadrilaterals in lecture series of projective geometry.
• D. Pedoe, Geometry, A Comprehensive Course, discusses polar plane of point wrt. paraboloid on p. 135, polar line of point wrt. triangle on p.254 and polar line wrt. point conic on p.336.
• Cut-the-Knot, Pole and polar wrt. triangle via Cevians, gives duality between Ceva and Menelaus theorems! But trilinear polarity is really not a ordinary polarity as stated in Wikipedia.
• U. Alberta, Self-polar triangles wrt. circles.
• Cornell, Basic definition of pole-polars
• Cut-the-Knot, Poles and polars, generalities.
• Cut-the-Knot, Straight-edge construction of polars, using complete quadrilateral in proof.
• Cut-the-Knot, Poles, polars and quadrilaterals, explaining all relations and harmonic divisions.
• Cut-the-Knot, Cross ratio, very simple and useful!
• Cut-the-Knot, Straight-edge construction of 4th harmonic point on line with A, B and C given. Proof of correctness simply using cross ratios! At end also discusses the polar of point wrt. to two lines.
• Wilson's Conic Pages, Quadrilaterals inscribed in conics.
• Piziadas, Construction of polar of point wrt. to two lines, explained by complete quadrilateral.

• Nederlandsk WP, Kegelsnede, med matriser
• Fransk WP, Pôle et polaire, god fremstilling av dualitet
• Proj geom og konstruksjon (geometri)
• Darmstadt, Intro proj geometry
• Fransk WP, Pol et polaire, konstruksjon med komplett quadrangle. Projective construction of polare proved in Faulkner book p.54
• Fransk WP, Transformation par polaires réciproques
• Fransk WP, Quadrilatère complet
• Stackexchange, Quadrilaterals and conics
• NN, Spherical, hyperbolic and other projective geometries, contains a lot
• J.W. Young, Projective Geometry, old textbook
• Anne Synnøve Larsen, Poncelet's Theorem, useful about curves in RP² and CP²
• Coxeter, Projective geometry, Google Book
• Tysk WP, Korrelation in Projektive Geometrie, mer generelt, hyperbolsk(vanlig) og også elliptisk polaritet (på kule). På kuleflate S² med elliptisk geometri identifiseres N- og S-pol som har ekvator som sin polare. De geografisk polene er derfor polen til ekvator.

• Cut-the-Knot, Pole/polar with respect to Triangle, som betyr at Ceva og Menelaus er duale til hverandre
• Engelsk WP, Trilinear polarity, this is no ordinary polarity wrt conic, and should therefore be called by another name, i.e. trilinear polarity. Direct consequence from Desargues configuration.

• Engelsk WP, Arthur Cayley
• J.D. North, Arthur Cayley long biography, Encyclopedia.com and excellent
• Encyclopedia Britannica 1911, Arthur Cayley

Først undersøkt av Menaikhmos som er nevnt på nynorsk ny:Menaikhmos. Eksisterende artikkel kjeglesnitt kan utvides med bio om Apollonius. Utledning basert på directrix i fr:Conique. In Boyer: History of Mathematics about Apollonius it is said that he found 'locus' of points whose ratio of distances to two fixed points, nd showed that to be a circle, Apollonios' sirkel. Annet problem er Apollonios' sirkler som involverer 3 gitte punkt, linker eller circler go skal finne locus for curve som tangerer alle. See Mathworld, Apollonius Circle.

Apollonios' sirkel kan defineres som locus for punkt som har avstander til to gitte punkt i ett konstant forhold. Se fullstendig diskusjon på engelsk Wikipedia Problem of Apllonius hvor det også er figur som kan benyttes. Det mer generelle Apollonios' problem som er behandlet her, er også godt diskutert på tysk og italiensk Wikipedia.

Unknown author in of Perga - Conics commentaries gives detailed discussions of all Books, og inneholder veldig mye mer om gammel geometri, f.ex. circle inversion. Her er det også skrevet om Book 1 hvor Apollonius viser at geometrisk sted for punkt med avstander fra tre eller fire linjer, er kjeglesnitt. Dette er jo Pappus problem som var Descartes utgangspunkt for koordinater. En mer kompakt diskusjon om kjeglesnittets historie med bio om Menaechmos er å lese her. In the fifth book Apollonius discusses evolutes and centers of curvature (Cajori) (or osculation as mentioned by Euler in Introductio in analysin infinitorum 1748 ). Apollonius therefore was of the first who considered the curvature and elements of differential geometry. Dansk Wikipedia om Apollonius sire også at han foreslo idé om epicycles.

På norsk Wikipedia ligger nyttige linker Kvadratisk form og Kvadratkomplettering som kan nyttes. Kvadratiske former og sammenheng med conics er fint beskrevet i Apostol, Linear Algebra: A First Course with Applications to Differential Equations, p.232.

• M.N. Fried, Appolonius of Perga's Conica, Google Book with thorough exposition of whole Conica.
• Texas, Conics in projective geometry.
• Wikipedia, Five points determine a conic
• Unknown, Projective geometry and conics. Interesting.
• Mathafou, Projective geometry about conics, poles and polars.
• Kappraff, Everything about Pappos and Pascal theorems and their use in construction of conics.
• Lahanas, Conic Sections : Apollonius and Menaechmus, with many links to related conics stuff.
• Deutsch book, Projective geometry, chap.9 about conics in projective plan related to euclidean plane. Excellent.
• Strutz, Newton's geometry of ellipse as Feynman tried to explain in his lecture.
• Student, Intro conics history and use
• San Diego, Intro to conics by cutting planes.
• French, Conique, web pages about curves, also with illustrations showing that all conics are equivalent under projections.
• Bos, Redefining Geometrical Exactness: Descartes with explanation of Pappus problem som sannsynligvis først ble foreslått av Apollonius.
• French, Apollonius and Conics, well explained in French.
• Francis Borceux, An Axiomatic Approach to Geometry: Geometric Trilogy I, contains detailed derivation from Apollonius of construction of pole and polares based on chords and harmonic ratios, p.143
• A. Corbellini, Elliptic Curve Cryptography, a gentle introduction.

• Deutsch, Scheitelgleichungen m/klassisk utledning fra Apollonios.
• Wikipedia, Steiner construction of conics based on projective geometry
• Webpages, Steiner construction
• Wikipedia, Hyperbel]
• Morris Kline, Mathematical Thoughts, Vol 3 on modern developments of projective geometry from Poncelet to Möbius and Plucker. Excellent story about duality and how related/not related to pole-polar.

Steiner-konstruksjon med figur av hyperbel (og og link til ellipse) kan finnes enkelt forklart på tysk Wikipedia,

• Dansk WP, Pol og polare:

Ved keglesnittene vil de punkter, der tillige med et givet punkt deler korder gennem det givne punkt harmonisk, ligge på en ret linje; det givne punkt kaldes pol for linjen som polar. Polaren går gennem rRøringspunkterne for de to tangenter fra polen til keglesnittet; til hver linje som polar svarer altså ét punkt som pol og omvendt. Går et punkt A's polar gennem et andet punkt B, vil B's polar gå gennem A. Ved en keglesnitsflade svarer til et vilkårligt punkt som pol en polarplan, defineret på samme måde som polaren og gående gennem røringskeglesnittet for den om keglesnitsfladen omskrevne kegleflade, der har toppunkt i polen. Den reciprokke polarfigur til en given figur med hensyn til en keglesnitsflade dannes af polerne og polarplanerne til den givne figurs planer og punkter. Til punkter i samme plan eller samme rette linje i den ene figur svarer i den anden figur planer gennem samme punkt ell. samme rette linje; dobbeltforhold i den ene figur er lige store med de tilsvarende dobbeltforhold i den anden. Fra egenskaber ved den ene figur kan man altså slutte sig til egenskaber ved den anden; denne metode til overførelse af sætninger, der skyldes Jean-Victor Poncelet, giver samme resultater som dualiteten, men tænker sig en bestemt indbyrdes beliggenhed af de dualistisk forbundne figurer. På analog måde kan man i en plan danne reciprokke polarfigurer med hensyn til et keglesnit i planen.

Teorien om pol og polar, hvis grundlag allerede findes i oldtidens græske geometri, er væsentlig opbygget af Philippe de La Hire og (for keglesnitsfladerne) af Gaspard Monge. Den er af Étienne Bobillier og Julius Plücker udvidet til alle plane algebraiske kurver og danner fundamentet for disses almindelige teori. Et punkt O har med hensyn til en kurve af n'te orden en 1. polarkurve af ordenen n—1, der går gennem røringspunkterne for tangenterne fra O til kurven, en 2. polarkurve af ordenen n—2, der afledes af den 1. på samme måde som denne af den forelagte kurve osv., endelig en retlinet n—1'te polar, polarlinien. På en vilkårlig sekant gennem O vil den reciprokke værdi af O's afstand fra skæringspunktet med polarlinien være middeltallet af de reciprokke værdier af O's afstande fra skæringspunkterne med kurven; falder O uendeligt fjernt, er polarlinien diameter for korder i retningen ud til O. Analoge definitioner bruges ved de algebraiske flader. I den sfæriske geometri forstås ved en storcirkels pol endepunkterne af diameteren vinkelret på storcirklens plan. Ved en pol for en funktion f(x) forstås et punkt i planen, hvis punkter fremstiller x's værdier, i hvilket f(x) bliver uendelig, medens 1/f(x) er kontinuert i punktets omegn.

• I. Todhunter, Spherical Geometry, MacMillan and Co., London (1863). Google Book.
• G. Van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.
• G. Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey
• KrysTall, Applications of spherical trigonometry.
• D. Wells, Curious and Interesting Geometry, Penguins Books, 1991. Check it out!!!

• MathWorld, Spherical trigonometry
• Harvard, Spherical cosinus
• Lecture, Spherical Pythagoras + etc
• UW, Spherical Pythagoras
• Derivation, Law of sines
• French, Spherical trigonometry in astronomy
• Cambridge, Napiers Nifty Rules
• History, Napiers Rules
• Maritime pages, Navigation
• Angelfire, Napiers pentagon
• Oxford, Dual Triangle
• Oxford, Complex numbers, roots of unity
• Wildberger, Pole and polars on the sphere
• N.N. Anonymous, Spherical Astronomy], Indian Google Book with proof of polar triangle and much more on spherical geometry/astronomy.
• B.A. Rosenfeld, History of Non-Euclidean Geometry, has discussion of Menelaos theorem and early results in spherical trigonometry. Is Menelaos equivalent to theorem of complete quadrilateral? Shows how Ptolemaios derived spherical sine law from Menelaos. Then about cross-ratio first discovered by Pappus, 'botanical' discussion by Desargues with harmonic division, who also discussed elliptic and hyperbolic inversion and polar transformations with pole and polars. Desargues also considered 'polar transformations wrt. a conic, defined by locus of points dividing harmonically its intersections with a line from a given point. 100 years later terms pole (greek axis) and polar were introduced by Francois J. Servois (1767 - 1847) and Joseph D. Gergonne (1771 - 1859). Also explains why Euler introduced term 'affine' transformations'
• A. Ostermann and G. Wanner, Geometry by Its History, writes about Pappus problem which led Descartes to coordinates. Includes also history of pole and polars, original first done by Apollonius.
• O. Neugebauer, A History of Ancient Mathematical Astronomy, Google Book which I perhaps have in Berlin?

Finnes på nynorsk.... Startet med Hipparkhos, deretter Menelaos som skrev Sphaerica. På tysk de:Kugeldreieck finnes brukbare figurer og utledning av arealformel. Sjekk ut norsk artikkel no:Sfærisk trekant og fin figur på nynorsk versjon! Areal av trekant beregnet på de:Kugeldreieck. Ellers inneholder en:Spherical trigonometry. Også italiensk it:Geometria sferica:

Teorema di Pitagora: Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: \cos (a/k)=\cos (b/k)\cos(c/k)[3] Facendo lo sviluppo in serie al secondo ordine delle funzioni trigonometriche, si ottiene l'espressione universalmente nota del Teorema di Pitagora in geometria euclidea: a^2=b^2+c^2.

Pappos' setning er grundig diskutert i en:Pappus's hexagon theorem.

Også sjekk ut Sinussetningen samt katalansk ca:Trigonometria esfèrica er meget grundig!

• Rice U, Lectures on spherical geometry for high school.
• Clark, History of use of chords, elementary
• Rutgers U, Beginnings of trigonometry
• New World Encyclopedia, Hipparchus bio
• C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein - A History of Mathematical Astronomy w/Ptolemaius' application of Menelaus for right-angled spherical triangle, giving sin a = sin A sin c where C is the right angle, p.68.
• M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Volume 1, p.120-130 details of what Ptolemaius used from Menelaos. Very Good and in Berlin!
• NRich, History of Trigonometry as happened in astronomy, with Menelaos' teorem
• Oregon, Hipparchus bio
• van Brummelen, Heavenly Mathematics, w/first chapter in Berlin.
• KryssTal, Spherical Trigonometry web sites w/applications
• D.A. Murray, Spherical Trigonometry, textbook (1908)

Må også skrive ny artikkel Ptolemaios' teorem med anvendendelser, da det finnes en begynnelse på nynorsk nn:Ptolemaios-satsen. Mye bra stoff på engelsk versjon, men enklest utledning fra:

• Cut The Knot, Ptolemaios' Theorem and derivation of sin/cos of sum of angles.

• D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-34055-1.
• T. Heath, A History of Greek Mathematics, Vol. II Dover Publications, New York (1981). ISBN 0-486-24074-6.

• MathForum, Simple proof Menelaus

• Britannica, Menelaus of Alexandra
• St. Andrews, Menelaus bio.
• Swedish student paper, On Projective Planes.
• David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, (1899) (review)
• David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, (1899). Gutenberg project.
• J. M. Lee, Axiomatic Geometry
• Cut the Knot, Construction of harmonics points, using straightedge only and explained in terms of cross-ratios and complete quadrangles.

Pappus setning har fin figur på sv:Pappos' sats

Thales' setning blir linked til i excellente artikkel no:Trekant, innskrevet trekant i sirkel.

Skriv nytt Vinkelhalveringsteoremet med bevis på it:Teorema della bisettrice og historie på en:Angle bisector theorem.

• LaTeX inline kan gjøres slik: ${\displaystyle \scriptstyle A{\widehat {C}}D=C{\widehat {A}}L}$
• Vinkler kan skrives slik: ∠BAC

• Preussische Akademie der Wissenschaften skriv oppjustering av Det prøyssiske vitenskapsakademiet.

Se f.ex. de:Cardanische Formeln, samt mye mer, spesielt fransk og russisk versjon. Sjekk med norsk versjon no:Tredjegradsligningen som finnes på nynorsk versjon! På italiensk er meget nyttig å se på it:Equazione di terzo grado hvor Cardanos formler er diskutert og behandlet på god måte samt at irreduserbare tilfellet er godt forklart. Her er det ref. til tilsvarende resultat tidligere av arabiske Omar Khayyam som også er diskutert i engelske versjon. Også den svenske sv:Tredjegradsekvation er god og enda mer den spanske! På portugusisk versjon er det på slutten om casus irredibilus som er nyttig, med henvisning til pt:Rafael Bombelli og oppdagelsen av komplekse tall. Om Bombelli er it:Rafael Bombelli god med beskrivelse av hans bok Algebra hvor reglene for addisjon og multiplikasjon av komplekse tall først ble presentert.

Casus irredibilus er godt diskutert i engelsk artikkel pluss spessiell artikkel en:Casus irreducibilis. Men likevel kan de tre rellel løsningene eksplisitt finnes ved trigonometrisk metode som vist i tyske de:Cardanische Formeln på slutten for tilfellet med negativ diskriminant.

I franske artikkel fr:Méthode de Cardan er det vist hvordan man generelt ved å bruke Cardanos metode og tar hensyn til komplekse faktorer ved å trekke ut tredjerøtter, kommer direkte frem til trigonometriske løsninger. Se f.eks. Trigonometric formula samt den foregående Cardano formula. See also

• Bombelli -> Euler with elegant formulas for all three roots.
• Stack Exchange ex..
• SOS

Kan skrive ny artikkel no:Tredjgradsligningen mer generell om ligningen og løsningen som i den franske fr:Équation cubique, med historie, fundamental sats i algebra til Gauss, grafiske egenskaper etc pluss med eksempel på slutten at den italienske artikkelen med degenerert tilfelle:

Se l'equazione di terzo grado possiede la particolare caratteristica di avere il termine noto uguale a ${\displaystyle {\tfrac {bc}{a}}}$ l'equazione si presenta nella formula:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+{\frac {bc}{a}}=0}$

in questo caso abbiamo immediatamente almeno una soluzione reale dato che la formula può essere vista come:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+{\frac {bc}{a}}=a\cdot \left(x+{\frac {b}{a}}\right)\cdot \left(x^{2}+{\frac {c}{a}}\right)}$

Una soluzione, quindi, sarà sicuramente ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}}}$; le altre 2 saranno reali o no in base al segno di ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$.

Før dette innføringen kan starte med x^3 = +/-1, diskutere disse, finne løsning først ved å faktorisere ut reell løsning +/-1 og deretter finne to komplekse røtter av resulterende andregradsligning. Deretter som alternativ mer direkte ved å skrive +/-1 som komplekse eksponentialfunksjoner som man kan trekke tredjerøttene direkte ut fra. På slutten kan ta med Viete generelle, trigonometriske løsning. Meget god artikkel på norsk no:Andregradsligning med ref til Francois Viète og Viètes formler som gir sammenheng mellom røtter og koeffisienter.

Og så mer teknisk artikkel om Cardanos formel som skal gi samme resultat.

• P.J. Nahin, An imaginary tale: The story of √(-1), Princeton University Press, New Jersey (1998). ISBN 0-691-02795-1.

Summen av de n første kubikktallene er kvadratet av det n-te trekanttallene.

See en:Squared triangular number for nice figure giving solution plus history. Also Dutch version nl:Sommatieregel gir bedre, matematisk fremstilling. Teoremet omhandler summasjon av tall-cuber som kan uttrykkes ved kvadratet av trekanttall 1,3,6,10,...

• Charles Wheatstone, On the Formation of Powers from Arithmetical Progressions, Proc. Roy. Soc. 7, 145 - 151 (1854) gave first time very lucid derivation.

• Jay Kappraff, The Arithmetic of Nicomachus of Gerasa and its Applications to Systems of Proportion gives more general discussion of Nikomachos book Introduction to Arithmetics with also discussion of his theory of musical tones.

• Ben-Zvi's blog, Nicomachus of Gerasa’s Equation, for mathematicians but contains also interesting history of Nikomachos' theorem.

• John Baez, Ancient musical scales, litt lenger ned på siden.

• Viggo Brun, Matematikkens historie som sannsynligvis inneholdes visuelt bevis.

• D. Pedoe, Comprehensive Geometry with proofs of Ceva and Menelaus.
• Cut-the-Knot, Ceva and Menelaus
• Proofs Ceva and Menelaus.
• Harmonic division
• Inversion geometry
• Denver circle inversions
• Circle Inversion Geometry
• Sumizdat, Vector analysis, orthocenter etc.
• Sumizdat, Ceva and Menelaus

---

Basel-problemet godt forklart på italiensk it:Problema di Basilea og Vietes formler med latex-oppsett på engelsk versjon.

Lag ny artikkel Bruns konstant a la tysk versjon.

Masse eksempler på egenskaper og beregninger av cross-ratio (euklidisk): Cross ratios and harmonic conjugate elements. På samme web-portal finnes beregninger og egenskaper av enveloper: Curves in a plane.

Fra en:Complete quadrangle: As systems of points and lines in which all points belong to the same number of lines and all lines contain the same number of points, the complete quadrangle and the complete quadrilateral both form projective configurations; in the notation of projective configurations, the complete quadrangle is written as (4362) and the complete quadrilateral is written (6243), where the numbers in this notation refer to the numbers of points, lines per point, lines, and points per line of the configuration. The projective dual of a complete quadrangle is a complete quadrilateral, and vice versa. For any two complete quadrangles, or any two complete quadrilaterals, there is a unique projective transformation taking one of the two configurations into the other.[2]

Karl von Staudt reformed mathematical foundations in 1847 with the complete quadrangle when he noted that a "harmonic property" could be based on concomitants of the quadrangle: When each pair of opposite sides of the quadrangle intersect on a line, then the diagonals intersect the line at projective harmonic conjugate positions. The four points on the line deriving from the sides and diagonals of the quadrangle are called a harmonic range. Through perspectivity and projectivity, the harmonic property is stable. Developments of modern geometry and algebra note the influence of von Staudt on Mario Pieri and Felix Klein .

På fransk wikipedia fr:division harmonique og spesielt Rapport anharmonique (som er samme som cross-ratio) vises det nederst på siden hvordan Ceva og Menelaus theorems direkte henger sammen og er nesten ekvivalente? Ja, mathpages viser at Menelaus og Ceva er dual til hverandre. Menelaus gir betingelsen for at 3 punkt skal falle på en linje, mens Ceva sier når 3 linjer skjærer hverandre i ett og samme punkt. Dette viser at de er mer generelle enn i metrisk geometri og tilhører virkelig projektiv geometri med kun insidens-relasjoner. Samme web-side gir også elegant bevis av begge theorem ved bruk av affine go homogene, projektive koordinater.

Historisk fremstilling av Kleins utvikling av ikke-euklidisk geometri basert på projective geometry i arXiv1406.7309 som også sier at Cevas teorem etc tilhører projective geometry.

Menelaus i sfærisk geometri bevist i boken: H.W. Eves, College Geometry som finnes på Amazon.de.

På fransk wikipedia Quadrilatère complet vises hvordan diagonalene deler hverandre harmonisk.

Kanske lage ny side med Harmonisk deling med teori og konstruksjon a la Harmonsiche Teilung. på nynorsk nn:Dobbeltforhold ligger litt fra engelsk versjon. Der brukes også begrepet divisjonsforhold for delingsforhold. Se også UiO kompendium av Ranestad Ceva og Menelaus som også diskuterer delingsforhold.

• Harmonic division in geometry and music, with lots of links to related sites, and proofs and illustrations of Ceva and Menelaus.

• Projective harmonic conjugate, Wikipedia.

Skriv ny artikkel om Saccheris kvadrangel basert på Giovanni Girolamo Saccheri.

---

Bruno Pontecorvo finnes på nn. Ta med bilde fra italiensk wp og bruk refereranse til Dyson i NYRB, March 5, 2015. Also about Val Fitch.

Ludovico Sforza finnes ikke på bokmål, men et par linjer om huset Sforza.

Pierre Varignon inneholder linker til kraftparallellogram og differensialregning som begge er nynorsk versjon. Noe mer å gjøre!

Thales' setning omtalt i no:trekant i seksjon Sirkler knyttet til en trekant.

En perspektivitet er en perspektivisk kollineasjon.

• M. de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry , Dynamic Mathematics Learning (2009). ISBN 978-0-557-10295-2.
• H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.

Kanskje mest kjent for å ha introdusert Fibonacci-tallene til Europa. På engelsk Wikipedia finnes link til boken 1857 ed. Liber Abbaci, Vol.I. Legg merke til også bok ref. til Øystein Ore her.

• Details about Fibonacci name
• S. Thorvaldsen, Matematisk kulturhistorie, Eureka Forlag, Høgskolen i Tromsø, Tromsø (2003). ISBN 82-7389-045-7. With good biography.