Determinant

Ein determinant er ein funksjon som er avhengig av fleire tal eller variable storleikar i ei kvadratisk matrise. Meir presist kan ein seie at determinanten er ein funksjon med definisjonsmengd lik mengda av alle kvadratiske matriser og med verdimengd lik mengda av reelle eller komplekse tal.

Determinanten til matrisa A vert ofte skriven «det A» eller «det(A)». Notasjonen |A| vert òg nytta for determinanten, men det er lett å forveksle denne med absoluttverdien av matrisa. Ønskjer ein å presisere elementa i matrisa, vert determinanten vanlegvis skriven ved å omgje elementa med loddrette strekar:

${\displaystyle \operatorname {det} \,A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm}\end{vmatrix}}}$

Generelt kan determinanten definerast ved hjelp av Laplaces formel eller ved Leibniz’ formel, begge skildra i meir detalj under.

Determinanten til ei 2×2-matrise A er definert ved

${\displaystyle \operatorname {det} \,A={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

Determinanten til ei 3×3-matrise A er definert ved

${\displaystyle \operatorname {det} \,A={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg.}$

Sarrus’ regel er ein metode for å hugse denne formelen. Definerer ein tre vektorer r1 = (a,b,c), r2 = (d,e,f) og r3 = (g,h,i), så er absoluttverdien av determinanten lik volumet utspent av dei tre vektorane.

La ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}}$ vere determinanten til matrisa A, og la ${\displaystyle M_{kl}={\begin{vmatrix}a_{ij};k,l\end{vmatrix}}}$ vere determinanten til den matrisa ein får ved å stryke rekkje k og kolonne l i den opphavlege matrisa A. Determinanten ${\displaystyle M_{kl}}$ vert kalla minoren til matrise-elementet ${\displaystyle a_{ij}}$. Tilsvarande er kofaktoren ${\displaystyle T_{kl}}$ til matrise-elementet lik minoren med ein forteiknsmodifikasjon:

${\displaystyle T_{kl}=(-1)^{k+l}{\begin{vmatrix}M_{kl}\end{vmatrix}}\,}$

Laplace-ekspansjon av determinanten basert på ein tilfeldig kolonne j er gjeven ved

${\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}T_{kj}}$

Tilsvarande formel gjeld for ei tilfeldig rekkje i:

${\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}T_{ik}}$

Leibniz’ formel for determinanten til ei matrise A har forma

${\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{p\in S_{n}}\operatorname {sgn}(p)\prod _{i=1}^{n}A_{i,p(i)}.}$

Summasjonen skal utførast over alle permutasjonar p av tala {1, 2, ..., n}. Ein permutasjon er ein funksjon som re-organiserer rekkjefølgja til denne heiltalsmengda. Frå kombinatorikk er det kjent at det eksisterer n fakultet n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n slike permutasjonar. Mengda av alle permutasjonar er skriven som S_n. For ein vilkårleg permutasjon p definerer ein signaturen sgn(p) lik +1 dersom permutasjonen er jamn og lik −1 dersom permutasjonen er odde.

• Determinanten til ei matrise der ein kolonne eller ei rad inneheld berre nullelement, er lik null.

• Determinanten til ei identitetsmatrise er lik 1.

• Dersom to rekkjer eller kolonnar i matrisa byter plass, så vil determinanten skifte forteikn.

• Dersom kvart element i ei rekkje eller ein kolonne blir multiplisert med ein skalar k, så vil determinanten bli multiplisert med same faktor.

• Determinanten er uendra dersom ein til ei rekkje eller ein kolonne adderer til eit multiplum av ei anna rekkje eller kolonne.
• Determinanten til den transponerte matrisa ${\displaystyle A^{T}}$ er lik determinanten til matrisa A.

• Dersom to rekkjer eller kolonnar i matrisa er lineært avhengige, vil determinanten vere lik null. Eit spesialtilfelle av dette er dersom matrisa har to like rekkjer eller kolonnar.

• Ei matrise er ikkje-singulær viss og berre viss determinanten er ulik null.

• Ei matrise er invertibel viss og berre viss determinanten er ulik null.

• Similære matriser har lik determinant.

Løysinga til eit lineært likningssystem kan skrivast eksplisitt ved hjelp av determinantar og Cramers regel. Det karakteristiske polynomet ${\displaystyle p(x)}$ til matrisa A er definert ved likninga

${\displaystyle p(x)=\operatorname {det} \,(A-Ix)\,}$

der I er identitetsmatrisa med same dimensjon som A. Røtene i det karakteristiske polynomet er eigenverdiane til A.

Volumet til et parallellepiped utspent av tre vektorar er lik absoluttverdien av determinanten til 3x3 matrisa definert ved dei tre vektorane.