Avstand

Avstand mellom to punkt er lik lengda til det rette linjestykket mellom dei to punkta. I fysikk eller i det daglegdagse syner avstanden til den fysiske lengda, eller eit estimat basert på andre kriterium. I matematikk er ein avstandsfunksjon ei generalisering av den fysiske avstanden.

I nøytral geometri er avstanden mellom (x₁) og (x₂) lengda til linja mellom dei:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}.\,}$

I analytisk geometri finn ein avstanden mellom to punkt i xy-planet ved hjelp av avstandsformelen. Avstanden mellom (x₁, y₁) og (x₂, y₂) er gjeven ved:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,}$

På liknande vis, for punkta (x₁, y₁, z₁) og (x₂, y₂, z₂) i tre dimensjonar, er avstanden mellom dei:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

Desse formene finn ein enkelt ved å konstruere ein rettvinkla trekant med eitt bein på hypotenus til den andre (med eitt bein vinkelrett på planet der det første triangelet ligg) og nyttar pythagorasteoremet.

I studiet av kompliserte geometriar, kallar ein dette (som regel) euklidsk avstand, sidan han kjem av pythagorasteoremet som ikkje gjeld i ikkje-euklidsk geometri. Denne avstandsformelen kan utvidast til bogelengdformelen.

I eit euklidsk rom Rⁿ, er avst anden mellom to punkt vanlegvis gjeven av den euklidske avstanden (2-norm distance). Andre avstandar, basert på andre normer, vert stundom nytta i staden.

For eit punkt (x₁, x₂, ...,x_n) og eit punkt (y₁, y₂, ...,y_n), Minkowskiavstanden av orden p (p-norm-avstand) er definert som:

1-norm-avstand	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}$
2-norm-avstand	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}$
p-norm-avstand	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
uendeleg norm-avstand	${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
	${\displaystyle =\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).}$

p treng ikkje å vere eit heiltal, men kan ikkje vere mindre enn 1, sidan trekantulikskapen ikkje vil gjelde elles.

2-norm-avstanden er den euklidske avstanden, ei generalisering av teoremet til Pythagoras til meir enn to koordinatar. Det er det ein ville fått om avstanden mellom to punkt vart målt med ein linjal: den «intuitive» oppfatninga av avstand.

1-norm-avstanden vert meir fargerikt kalla drosje-norma eller manhattangeometri, fordi det er avstanden ein bil ville ha køyrt om ein by hadde eit ruteforma gatenettverk (utan einvegskøyrte gater).

Den uendelege norm-avstanden vert òg kalla chebyshevavstanden. I to dimensjonar er dette dei færraste forflyttingane ein konge kan flytte seg mellom to ruter på eit sjakkbrett.

p-norma vert sjeldan nytta for verdiar av p annan enn 1, 2 og uendeleg, men sjå superellipse.