Liouville-getal

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal ${\displaystyle x}$ met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal ${\displaystyle n}$, er gehele getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ bestaan, met ${\displaystyle q>1}$ en zodanig dat

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$

In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.

Zij ${\displaystyle b\geq 2}$ een geheel getal, en ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )}$ een rij met voor alle ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots ,\ a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$, en zodat er oneindig veel getallen ${\displaystyle k}$ zijn waarvoor geldt dat ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$. Definieer het getal ${\displaystyle x}$ door

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=a_{1}b^{-1}+a_{2}b^{-2}+a_{3}b^{-6}+a_{4}b^{-24}+\ldots }$

In het speciale geval waarin ${\displaystyle b=10}$ en ${\displaystyle a_{k}=1}$ voor alle ${\displaystyle k}$, wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.

Uit de definitie volgt dat de representatie van ${\displaystyle x}$ in grondtal ${\displaystyle b}$ gegeven wordt door:

${\displaystyle x=(0,a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}000\ldots )_{b}}$

Aangezien de representatie van ${\displaystyle x}$ in het grondtal ${\displaystyle b}$ geen repeterend gedeelte heeft, volgt hieruit dat ${\displaystyle x}$ irrationaal is. Voor elk rationaal getal ${\displaystyle p/q}$ geldt dus dat ${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>0}$.

Definieer nu voor elk positief geheel getal ${\displaystyle n\geq 1,\ q_{n}}$ en ${\displaystyle p_{n}}$ door

${\displaystyle q_{n}=b^{n!};\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

Dan geldt:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}}$

De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat

${\displaystyle n\cdot n!=n\cdot n!+n!-n!=(n+1)!-n!}$

Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde ${\displaystyle x}$ een Liouville-getal is.

Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld ${\displaystyle b=10}$, dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

Het blijkt dat het getal ${\displaystyle x=c/d}$, waarin ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle d}$ gehele getallen zijn met ${\displaystyle d>0}$, niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als ${\displaystyle c/d}$ geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.

Iets specifieker blijkt dat als ${\displaystyle n}$ een geheel getal is waarvoor geldt dat ${\displaystyle 2^{n-1}>d}$, er dan geen enkel tweetal gehele getallen ${\displaystyle (p,q)}$ met ${\displaystyle q>1}$ bestaat dat tegelijkertijd aan beide van de twee volgende ongelijkheden voldoet:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$

Stel ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ zijn gehele getallen met ${\displaystyle q>1}$. Dan geldt:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}}$

Als ${\displaystyle cq-dp=0}$, is ${\displaystyle |x-p/q|=0}$, waardoor ${\displaystyle (p,q)}$ niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als ${\displaystyle cq-dp>0}$, geldt, vanwege het feit dat ${\displaystyle c,d,p}$ en ${\displaystyle q}$ alle geheel zijn, dat ${\displaystyle cq-dp\geq 1}$. Hieruit volgt dat

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}\geq {\frac {1}{dq}}}$

Omdat ${\displaystyle 2^{n-1}>d}$, volgt hieruit dat

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$,

waaruit volgt dat ${\displaystyle (p,q)}$ niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.

Hieruit concluderen we dat er als ${\displaystyle 2^{n-1}>d}$, er geen tweetal ${\displaystyle (p,q)}$ bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn; dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

Lemma

Zij ${\displaystyle \alpha }$ een irrationaal nulpunt van de veelterm ${\displaystyle f}$ van graad ${\displaystyle n>0}$ met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal ${\displaystyle A>0}$ zodanig dat voor alle gehele getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ met ${\displaystyle q>0}$ geldt

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Bewijs

Zij ${\displaystyle M}$ de maximale waarde van ${\displaystyle |f'(x)|}$ (de absolute waarde van de afgeleide van ${\displaystyle f}$) op het interval ${\displaystyle [\alpha -1,\alpha +1]}$. Laat ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ de verschillende nulpunten van ${\displaystyle f}$ zijn die ongelijk zijn aan ${\displaystyle \alpha }$. Kies een getal ${\displaystyle A>0}$ dat voldoet aan

${\displaystyle A<\min(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|)}$

Stel nu dat er gehele getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|)}$

Dus ${\displaystyle p/q}$ zit in het interval ${\displaystyle [\alpha -1,\alpha +1]}$; ${\displaystyle p/q}$ is geen nulpunt van ${\displaystyle f}$ en er zijn ook geen nulpunten tussen ${\displaystyle p/q}$ en ${\displaystyle \alpha }$. Uit de middelwaardestelling volgt dat er een ${\displaystyle x_{0}}$ tussen ${\displaystyle p/q}$ en ${\displaystyle \alpha }$ bestaat zodat

${\displaystyle f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})=(\alpha -{\frac {p}{q}})f'(x_{0})}$

Aangezien ${\displaystyle \alpha }$ een nulpunt van ${\displaystyle f}$ is, maar ${\displaystyle p/q}$ niet, is ${\displaystyle |f'(x_{0})|>0}$, en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {|f({\frac {p}{q}})|}{|f'(x_{0})|}}}$

De polynoom ${\displaystyle f}$ is van de vorm ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}x^{i}}$ waarin elke ${\displaystyle c_{i}}$ geheel is; dus ${\displaystyle |f(p/q)|}$ kan geschreven worden als

${\displaystyle \left|f({\frac {p}{q}})\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {1}{q^{n}}}\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat ${\displaystyle p/q}$ geen nulpunt is (dus ${\displaystyle |f(p/q)|>0}$) en omdat ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$, en alle ${\displaystyle c_{i}}$ geheel zijn.

Dus ${\displaystyle |f(p/q)|\geq 1/q_{n}}$. Omdat ${\displaystyle f'(x_{0})\leq M}$ vanwege de definitie van ${\displaystyle M}$, en ${\displaystyle 1/M>A}$ vanwege de definitie van ${\displaystyle A}$, volgt hieruit dat

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {f({\frac {p}{q}})}{f'(x_{0})}}\right|\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|}$

Dit is een contradictie, dus zulke ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ kunnen niet bestaan, waarmee het lemma bewezen is.

Bewijs van de bewering

Zij ${\displaystyle x}$ een Liouville-getal. Dan is ${\displaystyle x}$ irrationaal, zoals eerder bewezen is. Stel ${\displaystyle x}$ is algebraïsch van graad ${\displaystyle n}$, dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal ${\displaystyle A}$ zodat voor alle gehele getallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ met ${\displaystyle q>1}$ geldt dat

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Zij ${\displaystyle r}$ een positief geheel getal zodanig dat ${\displaystyle 1/2^{r}\leq A}$. Stel ${\displaystyle m=r+n}$. Omdat ${\displaystyle x}$ een Liouville-getal is, bestaan er gehele getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ met ${\displaystyle b>1}$ zodat

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}$

wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.

• Constante van Liouville