Durm speelde in de jeugd bij SG Rieschweiler, 1. FC Saarbrücken en Mainz 05. Durm scoorde twaalf doelpunten uit 33 wedstrijden als aanvaller voor het tweede elftal van Mainz 05. In 2012 werd hij aangetrokken door Borussia Dortmund. Op 21 juli 2012 debuteerde hij voor Borussia Dortmund II in de 3. Liga tegen VfL Osnabrück. Hij speelde 28 competitiewedstrijden voor het tweede elftal tijdens het seizoen 2012/13 in de 3. Liga. Op 10 augustus 2013 debuteerde hij voor Borussia Dortmund in de Bundesliga in een 0–4 uitzege bij FC Augsburg. Hij kwam na 87 minuten op het veld als invaller voor Robert Lewandowski. In de zomer van 2018 vertrok Durm naar Huddersfield Town, dat uitkwam in de EngelsePremier League. Na het seizoen 2018/19 vertrok Durm naar Duitsland. Hij tekende daar een contract bij Eintracht Frankfurt, waarmee hij in het seizoen 2021/22 de UEFA Europa League won, ten koste van Rangers.