Janjang geometri

Dalam bidang matematik, janjang geometri ialah sejenis janjang dengan nisbah yang malar antara sebutan-sebutannya. Sebagai contoh,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

ialah janjang geometri kerana setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperolehi dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

Rumus untuk hasil tambah janjang geometri ialah

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}},}$

di mana ${\displaystyle a}$ ialah sebutan pertama dan ${\displaystyle r}$ ialah nisbah sepunya, dan ${\displaystyle r\neq 1}$. Rumus ini diperoleh dengan langkah-langkah berikut:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Katakan }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n}.\\[4pt]&{\text{Maka }}rs=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n}+r^{n+1}.\\[4pt]&{\text{Maka }}s-rs=s(1-r)=1-r^{n+1},{\text{ jadi }}s={\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}$

Rumus tadi boleh dihasilkan dengan mendarab dengan ${\displaystyle a}$.

Bila ${\displaystyle n}$ mendekati ketakterhinggaan, nilai mutlak bagi ${\displaystyle r}$ mestilah lebih kecil daripada 1 supaya janjang tersebut menumpu. Hasil tambah tadi kemudiannya menjadi

${\displaystyle s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots .}$

Bila ${\displaystyle a=1}$, permudahkan lagi:

${\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},}$

dengan ungkapan sebelah kiri adalah janjang geometri dengan nisbah sepunya ${\displaystyle r}$. Kita memperoleh rumus ini:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Katakan }}s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .\\[4pt]&{\text{Maka }}rs=r+r^{2}+r^{3}+\cdots .\\[4pt]&{\text{Maka }}s-rs=1,{\text{ jadi }}s(1-r)=1,{\text{ jadi }}s={\frac {1}{1-r}}.\end{aligned}}}$

Rumus am ini sah jika didarab dengan ${\displaystyle a}$.

Rumus ini hanya sah untuk siri yang menumpu (iaitu bila nilai mutlak ${\displaystyle r}$ kebih kecil daripada 1). Sebagai contoh, hasil tambah ini tak tertakrif bila ${\displaystyle r=10}$ meskipun rumus itu menghasilkan ${\displaystyle s=-{\frac {1}{9}}}$.

Berikut ialah gambaran bagi janjang geometri oleh E.Hairer dan G.Wanner, Analysis by Its History, bab III.2, rajah 2.1, m/s 188, Springer 1996: