Fazinė plokštuma

Fazinė plokštuma – tai tam tikrų diferencialinių lygčių charakteristikų vizualinis atvaizdavimas 2-matėje erdvėje.

Dvimatė tiesinės diferencialinės lygties sistema gali būti užrašyta tokiu pavidalu:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}}$

kuri gali būti pertvarkyta į matricinę lygtį:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {v} .\end{aligned}}}$

čia A yra viršuje esanti 2 × 2 koeficientų matrica, o v = (x, y) yra koordinačių vektorius su dviem nepriklausomais kintamaisiais.

Tokios sistemos gali būti išsprendžiamos analitiškai, šiuo atveju integruojant:^[2]

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}}$$

nors sprendiniai ir yra sunkiai interpretuojami.^[1]

Fazinės plokštumos yra naudingos tiriant fizikinių sistemų elgesį, pvz., švytuojančios sistemos, tokios kaip plėšrūno ir aukos santykiai (Lotka-Volterra lygtis). Šie modeliai gali „sukti spiralę“ į nulį, į begalybę, arba pasiekti neutralią stabilumo būseną, vadinamą centru, kur kelias gali būti apskritiminis, elipsinis ir pan. Tai yra naudinga nustatant ar dinamika yra stabili ar ne.

Kiti pavyzdžiai švytuojančių sistemų yra tam tikro cheminės reakcijos su kelias žingsniais, keliuose iš jų pasireiškia dinaminė pusiausvyra, o ne reakcijos iki pabaigos. Šitose reakcijose galima modeliuoti reagentų ir produktų koncentracijų (masės, medžiagos kiekio) kritimą arba kilimą naudojant teisingas diferencialines lygtis ir turint gerą cheminės kinetikos supratimą.

Tam tikros diferencialinių lygčių sistemos gali būti užrašytos taip:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=c\mathbf {x} .}$

kur c gali būti bet kokia konstantų kombinaciją, kad gautųsi tiesinė kombinacija su x dešinėje pusėje; čia paryškintas x reiškia vektorių, o ne skaliarą.

Šios sistemos taip pat gali būti išspręstos algebriniais metodais (pavyzdys čia). Daug dažniau jos yra sprendžiamos su dešinės pusės koeficientais, kurie yra parašyti matricoje, naudojantis tikrinėmis vertėmis ir tikriniais vektoriais. Tikrinės vertės atspindi eksponentinių komponenčių laipsnius, o tikriniai vektoriai yra koeficientai. Jeigu sprendinys yra parašytas algebrinėje formoje, jis išreiškia fundamentinį eksponentės multidaugybinį faktorių. Dėl tikrinių vektorių neunikalumo, kiekvienas sprendinys turi neapibrėžtas konstantas c₁, c₂ ir taip toliau, iki tikrinių vektorių skaičiaus..

Specialiam atvejui, kur 2x2 matrica reiškia diferencialinių lygčių sistemą, sprendinys yra:

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.}$

Čia, ${\displaystyle \lambda }$₁ ir ${\displaystyle \lambda }$₂ yra tikrinės vertės ir dvi matricos turinčios (k₁, k₂), (k₃, k₄) yra tikriniai vektoriai. Konstantos c₁ ir c₂ atspindi tikrinių vektorių neunikalumą ir yra neišsprendžiami, nebent yra žinomos pradinės sistemos sąlygos.

Fazinė plokštuma tada yra pradedama nuo 2 statmenų linijų, kurios reiškia 2 tikrinius vektorius (jie atspindi stabilią situaciją, kai sistemą artėja arba tolėja nuo tų linijų). Tada fazinė plokštuma brėžiama naudojant pilnas linijas, vietoj lauko taškų. Tikrinių verčių ženklai pasako, kaip sistemos fazinė plokštuma elgiasi:

• Jeigu ženklai yra priešingi, tada tikrinių vektorių susikirtimas yra balno taškas.
• Jeigu abu ženklai teigiami, tai tikriniai vektoriai atspindi stabilią situaciją, kai sistema tolsta nuo jų ir susikirtimas yra nestabilus.
• Jeigu abu ženklai neigiami, tai tikriniai vektoriai atspindi stabilią situaciją, kai sistema artėja link jų ir susikirtimas yra stabilus.

Visa tai galima atvaizduoti atgaminant eksponentinių sąlygų elgesį diferencialinių lygčių sprendiniuose.

• Fazinė linija, 1-matis atvejis
• Fazinė erdvė, n-matis atvejis
• Fazinis portretas
• Fazinės plokštumos metodas