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An electromagnetic (or any other) wave experiences partial transmittance and partial reflectance when the medium through which it travels suddenly changes.
일반적으로 투과계수 (透過係數, Transmission coefficient)는 전자기파 등을 비롯한 어떤 파동 이 다른 물체와의 경계면에 입사했을 때, 그 물체를 투과하는 정도를 가리키는 것으로 광학 이나 양자역학 에서 사용되는 개념이다.
광학에서 투과계수는 전자기파 가 어떤 매질 의 표면이나 광학소자를 통과하는 정도를 가리킨다. 입사파(入射坡)와 투과파(透過波)간의 진폭 이나 세기(광도 )의 비를 이용해 계산한다.
전자기파의 단위면적 당 세기, 즉 광도 (intensity)는 다음과 같다.
I
=
1
2
ϵ
v
E
0
2
E
0
{\displaystyle I={\frac {1}{2}}\epsilon vE_{0}^{2}\qquad \,E_{0}}
는 전자기파에서 전기장의 진폭.
유전율 이
ϵ
1
{\displaystyle \,\epsilon _{1}}
인 매질 에서
ϵ
2
{\displaystyle \,\epsilon _{2}}
인 매질로 전자기파가 진행할 때, 입사광과 투과광의 광도와 속도 를 각각
I
1
{\displaystyle \,I_{1}}
과
I
2
{\displaystyle \,I_{2}}
,
v
1
{\displaystyle \,v_{1}}
과
v
2
{\displaystyle \,v_{2}}
라고 하면, 투과계수는 다음과 같이 정의된다.
T
≡
I
T
I
I
=
ϵ
2
v
2
ϵ
1
v
1
(
E
0
T
E
0
I
)
2
=
4
n
1
n
2
(
n
1
+
n
2
)
2
.
{\displaystyle T\equiv {\frac {I_{T}}{I_{I}}}={\frac {\epsilon _{2}v_{2}}{\epsilon _{1}v_{1}}}\left({\frac {E_{0_{T}}}{E_{0_{I}}}}\right)^{2}={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}.}
여기에서
n
1
{\displaystyle \,n_{1}}
과
n
2
{\displaystyle \,n_{2}}
는 두 매질의 굴절률 을 가리킨다.
투과계수에 대응하는 개념으로 반사계수 (反射係數)가 있다. 반사계수는 매질이나 광학소자의 표면에서 반사되는 정도이다. 반사계수는 다음과 같이 정의된다.
R
≡
I
R
I
I
=
(
E
0
R
E
0
I
)
2
=
(
n
1
−
n
2
)
2
(
n
1
+
n
2
)
2
.
{\displaystyle R\equiv {\frac {I_{R}}{I_{I}}}=\left({\frac {E_{0_{R}}}{E_{0_{I}}}}\right)^{2}={\frac {(n_{1}-n_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}.}
에너지 보존 법칙 에 따라
T
+
R
=
1
{\displaystyle \,T+R=1}
이다.
비상대론적(non-relativistic ) 양자역학 에서, 투과계수(transmission coefficient )와 반사계수(reflection coefficient )는 경계면에 파가 입사되었을 때 거동을 묘사할 때 쓰인다. 투과계수는 종종 경계를 터널링하는 확률을 나타내는 데 사용된다.
투과계수는 입사와 투과 확률 흐름 밀도(transmitted probability current density ) j를 사용하여 다음과 같이 정의한다:
T
=
|
j
t
r
a
n
s
m
i
t
t
e
d
|
|
j
i
n
c
i
d
e
n
t
|
{\displaystyle T={\frac {|j_{transmitted}|}{|j_{incident}|}}}
여기서
j
i
n
c
i
d
e
n
t
{\displaystyle j_{incident}}
는 경계층을 입사하는 확률이고
j
t
r
a
n
s
m
i
t
t
e
d
{\displaystyle j_{transmitted}}
는 경계층을 투과하는 확률이다.
반사계수 R은 다음과 같이 투과계수와 비슷하게 정의된다.
R
=
|
j
r
e
f
l
e
c
e
d
|
|
j
i
n
c
i
d
e
n
t
|
{\displaystyle R={\frac {|j_{refleced}|}{|j_{incident}|}}}
두 계수의 합은 확률 보존에 의해
T
+
R
=
1
{\displaystyle \,T+R=1}
이다.
WKB 근사법 을 이용하여, 터널링 계수를 구하면 다음과 같다.
T
=
e
−
2
∫
x
1
x
2
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
(
1
+
1
4
e
−
2
∫
x
1
x
2
d
x
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
)
2
{\displaystyle T={\frac {e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\left(1+{\frac {1}{4}}e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}\right)^{2}}}}
여기서,
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
은 전위 장벽의 두 개의 고전적인 회귀점이다. 만약
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}
의 근사를 취하여 플랑크 상수 보다 매우 큰 매개변수에 고전적 한계를 취하면, 투과계수는 정확하게 0으로 수렴한다. 이런 고전 극한은 현실적이지가 않고, 좀 더 단순히 풀기 위해, 네모 전위(square potential )이라 가정한다.
만약 투과 계수가 1보다 매우 작으면, 식을 다음과 같이 근사할 수 있다.
T
≈
16
E
U
0
(
1
−
E
U
0
)
e
−
2
L
m
(
U
0
−
E
)
{\displaystyle T\approx 16{\frac {E}{U_{0}}}(1-{\frac {E}{U_{0}}})e^{-2L{\sqrt {m(U_{0}-E)}}}}
여기서,
L
=
x
2
−
x
1
{\displaystyle L=x_{2}-x_{1}}
은 전위장벽의 두께이다.