유사 미분 연산자

조화해석학에서 유사 미분 연산자(類似微分演算子, 영어: pseudodifferential operator, 약자 ΨDO)는 미분 연산자와, 매끄러운 함수와의 곱셈의 공통된 일반화이다. 푸리에 변환 공간에서 위치와 운동량에 의존하는 임의의 매끄러운 함수를 곱한 뒤 다시 역변환시키는 연산이다.

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 복소수 값 매끄러운 함수의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$이라고 쓰고, 복소수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$이라고 쓰자. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$은 자연스럽게 프레셰 공간을 이루며, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$은 자연스럽게 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ 위에 작용하는 유사 미분 연산자는 다음과 같은 꼴의 선형 변환이다.

${\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle P(x,D)\colon u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }$

여기서

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-ix\cdot \xi )u(x)\,d^{n}x}$

는 ${\displaystyle u}$의 푸리에 변환이며,

${\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\tilde {P}}\colon (x,\xi )\mapsto P(x,\xi )}$

는 매끄러운 함수이다. ${\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}$를 유사 미분 연산자 ${\displaystyle P(x,D)}$의 표상(表象, 영어: symbol)이라고 한다.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 다중지표의 집합을 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$으로 쓰자. 어떤 정수 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$에 대하여 유사 미분 연산자 ${\displaystyle P(x,D)}$의 표상 ${\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}$가

${\displaystyle \sup _{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}{\frac {|\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|}{(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}}<\infty \qquad \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}$

를 만족시킨다면, ${\displaystyle P(x,D)}$를 ${\displaystyle m}$차 유사 미분 연산자라고 한다. ${\displaystyle m}$차 표상들의 집합은 보통 ${\displaystyle S^{m}}$으로 쓰며, ${\displaystyle m}$차 유사 미분 연산자의 집합은 ${\displaystyle \operatorname {\Psi DO} ^{m}(\mathbb {R} ^{n})}$으로 쓴다. 모든 유사 미분 연산자는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ 함수로서 연속 함수이다.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 분포

${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} }$

가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 유사 미분 연산자 ${\displaystyle P}$의 표상이 콤팩트 지지라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle P}$를 분포 ${\displaystyle T}$ 위에 작용하도록 확장할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같다.

${\displaystyle PT\colon \mathbb {C} _{0}^{\infty }\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \langle PT|u\rangle =\langle T|P^{*}u\rangle }$

여기서

${\displaystyle P^{*}\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

은 ${\displaystyle P}$의 에르미트 수반이다.

이에 따라, 콤팩트 지지 표상의 유사 미분 연산자는 분포 공간 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ 위에 작용한다.

${\displaystyle P\colon {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

매끄러운 다양체는 유클리드 공간의 열린집합 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$들을 매끄러운 추이 사상

${\displaystyle \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to U_{i}\cap U_{j}}$

으로 이어붙여 만든다.

유클리드 공간의 열린집합 ${\displaystyle U,V,U',V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 유사 미분 연산자

${\displaystyle P\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}$

및 미분 동형 ("좌표 변환")

${\displaystyle \iota _{U}\colon U\to U'}$

${\displaystyle \iota _{V}\colon V\to V'}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 선형 변환

${\displaystyle P'\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U')\to {\mathcal {C}}^{\infty }(V')}$

${\displaystyle P'\colon u\mapsto \iota _{V}\circ P(f\circ \iota _{U}^{-1})}$

를 정의할 수 있으며, 또한 ${\displaystyle P'}$ 역시 유사 미분 연산자임을 보일 수 있다. 또한, 만약 ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle m}$차 유사 미분 연산자라면 ${\displaystyle P'}$ 역시 ${\displaystyle m}$차 유사 미분 연산자이다. 따라서, 좌표 근방계에 조각마다 유사 미분 연산자를 정의한 뒤 이를 짜깁기하여 매끄러운 다양체 위의 ${\displaystyle m}$차 유사 미분 연산자의 개념을 정의할 수 있다.^[1]:§8

${\displaystyle m}$차 표상 ${\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 표상의 열 ${\displaystyle ({\tilde {P}}_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$가 존재한다면, ${\displaystyle {\tilde {P}}}$를 고전 표상(영어: classical symbol)이라고 한다.^{[1]:Definition 5.1}

• ${\displaystyle {\tilde {P}}_{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$는 ${\displaystyle i}$차 동차함수이다. 즉, ${\displaystyle {\tilde {P}}_{i}(\alpha x,\alpha \xi )=\alpha ^{i}{\tilde {P}}_{i}(x,\xi )}$이다.
• 콤팩트 지지 매끄러운 함수 ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \phi (x)=1\forall x\in U}$가 되는 0의 근방 ${\displaystyle U\ni 0}$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  ${\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )-\sum _{i=0}^{N-1}(1-\phi (\xi )){\tilde {P}}_{m-i}(x,\xi )\in S^{m-N}\qquad \forall N\in \mathbb {Z} ^{+}}$

고전 유사 미분 연산자(영어: classical pseudodifferential operator)는 그 표상이 고전 표상인 유사 미분 연산자이다. 고전 유사 미분 연산자의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {\Psi DO} _{\operatorname {cl} }^{m}}$으로 쓰자.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의, 표상이 ${\displaystyle {\tilde {P}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$인 유사 미분 연산자 ${\displaystyle P(x,D)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\tilde {P}}(x,\xi )}$가 콤팩트 지지 함수라면, ${\displaystyle P(x,D)}$의 상은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$에 속한다. 즉,

${\displaystyle P(x,D)\colon {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

이다.^{[1]:Theorem 4.2}

임의의 미분 연산자

${\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial _{x}^{\alpha }}$

의 경우, 그 표상

${\displaystyle {\tilde {P}}(\xi )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$

을 정의하면 유사 미분 연산자

${\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(\xi ){\hat {u}}(x)\,d^{n}\xi }$

로 나타낼 수 있다.

마찬가지로, 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$에 대하여, 곱셈 연산자

${\displaystyle u(x)\mapsto f(x)u(x)}$

역시 표상이 ${\displaystyle f(x)}$인 유사 미분 연산자

${\displaystyle u(x)\mapsto {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(ix\cdot \xi ){\tilde {P}}(x){\hat {u}}(\xi )\,d^{n}\xi }$

1960년대에 조지프 존 콘(영어: Joseph John Kohn) · 루이스 니런버그 · 라르스 회르만데르 등이 유사 미분 연산자의 이론을 개발하였다. 이후, 유사 미분 연산자의 개념은 아티야-싱어 지표 정리의 증명에 중요한 역할을 하였다.

• Taylor, Michael Eugene. 《Pseudodifferential operators》. Princeton Mathematical Series (영어) 34. Princeton Univ. Press 1981. ISBN 978-0-691-08282-0. 
• Shubin, Mkhail A. (2001). 《Pseudodifferential operators and spectral theory》 (영어). S.I. Andersson 역 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-642-56579-3. ISBN 3-540-41195-X. 
• Treves, Jean-François (1980). 《Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators》. The University Series in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4684-8780-0. ISBN 978-1-4684-8782-4. 
• Friedlander, F. G.; Joshi, Mark Suresh (1999년 1월). 《Introduction to the theory of distributions》 (영어) 2판. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64015-2. 
• Hörmander, Lars (1987). 《The analysis of linear partial differential operators III: Pseudo-differential operators》 (영어). Springer. ISBN 3-540-49937-7. 

• 미분 대수
• 푸리에 변환

• “Pseudo-differential operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudodifferential operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Pseudodifferential operator”. 《nLab》 (영어).