쌍각뿔

정 쌍각뿔의 집합
(육각형 형태를 예시로 들었다)
콕서터 다이어그램
슐레플리 기호	{ } + {n}
면	2n 삼각형
모서리	3n
꼭짓점	2 + n
면 배치	V4.4.n
대칭군	Dnh, [n,2], (*n22), 4n차
회전군	Dn, [n,2]+, (n22), 2n차
쌍대다면체	n각기둥
특성	볼록, 면추이
전개도

n각 쌍각뿔은 n각뿔과 그 거울상을 밑면에서 밑면끼리 연결하여 생긴 다면체이다. 쌍n각뿔은 2n개의 삼각형 면과 3n개의 모서리, 그리고 2 + n개의 꼭짓점을 가진다.

쌍각뿔의 이름에 쓰였던 n각형은 외부의 면이 아니라 내부의 면이다. 두 각뿔 절반을 연결하는 주 대칭면에 존재한다.

정 쌍각뿔의 두 꼭짓점은 그 밑면의 중심의 위와 아래에 존재한다. 정 쌍각뿔이 아닌 쌍각뿔은 불규칙 쌍각뿔이라고 부른다. 정 쌍각뿔은 정다각형의 내부의 면을 가지고 대부분 직 쌍각뿔의 의미를 내포한다. 직 쌍각뿔은 내부의 다각형 P에 대해서 { } + P라고 나타낼 수 있고, 정 쌍n각뿔은 { } + {n}으로 나타낼 수 있다.

오목 쌍각뿔은 오목한 내부의 다각형을 가진다.

면추이 정 쌍각뿔은 고른 각기둥의 쌍대다면체이고, 일반적으로 이등변삼각형 면을 가진다.

구나 지구의에 쌍각뿔은 극에서 극으로 가는 n개의 등간격의 경도와 적도를 따라 이등분 하는 선으로 투영될 수 있다.

구면 삼각형으로 투영된 쌍각뿔 면들은 이면체 대칭 D_nh의 기본 영역을 나타낸다.

쌍각뿔의 부피는 V =2/3Bh이며, B는 밑면의 넓이이고 h는 밑면에서 꼭대기 까지의 높이이다. 이 공식은 꼭대이의 위치에 관계없이, h가 밑면을 포함하는 평면에 수직한 거리로 측정되었으면 성립한다.

따라서 밑면이 변의 길이가 s인 정n각형으로 이루어졌고 높이가 h인 쌍각뿔의 부피는 다음과 같다:

${\displaystyle V={\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

세 종류의 쌍각뿔만이 모든 모서리의 길이가 같을 수 있다 (이것은 모든 면이 정삼각형이라는 것을 암시하며 따라서 쌍각뿔은 삼각형다면체이다): 삼각, 사각, 그리고 오각쌍뿔이다. 모서리의 길이가 동일한 삼각이나 오각쌍뿔은 존슨의 다면체(J₁₂과 J₁₃)로 계수되는 반면, 모서리의 길이가 동일한 사각쌍뿔, 또는 정팔면체는 플���톤의 다면체로 계수한다..

삼각쌍뿔	사각쌍뿔 (정팔면체)	오각쌍뿔

밑면이 정다각형이고 꼭대기들을 통과하는 선이 밑면의 중심을 통과할 때, n각쌍뿔의 대칭군은 4n차의 이면체 대칭 D_nh를 가진다. 예외적으로 정팔면체의 경우는 더 큰 48차의 정팔면체 대칭군 O_h을 가지고 세 종류의 D_4h을 부분군으로 가진다. 회전군은 2n차의 D_n를 가지고, 정팔면체는 더 큰 24차의 대칭군 O를 가지며 세 종류의 D₄를 부분군으로 가진다.

구면 2n각쌍뿔의 이각형 면은 삼차원의 이면체 대칭의 기본 영역을 나타낸다: D_nh, [n,2], (*n22), 4n차. 반사 영역은 교대로 색칠된 삼각형을 거울상으로 볼 수 있다.

D1h	D2h	D3h	D4h	D5h	D6h	...

쌍각뿔족

다면체
콕서터
타일링
배치	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4

부등변 다면체는 위상적으로 2n각쌍뿔과 같으나 동일한 부등변삼각형들로 이루어져있다.

두 종류가 존재하는데, 한 종류는 중심 주변의 2n개의 꼭짓점이 위아래로 교대된 고리를 이루고, 다른 종류는 꼭짓점 2n개는 같은 평면에 있지만 두 반지름이 교대되어있다.

첫 번째는 둘레에 있는 모서리의 중점의 2-fold 회전축과, 꼭짓점을 통한 대칭면, 그리고 그 축의 n-fold 회전대칭을 가지며, 대칭 D_nd, [2⁺,2n], (2*n), 2n차를 나타낸다. 결정학에서, 변이 8개와 12개가 있는 부등변다면체가 존재한다.^[1] 이 모든 형태는 점추이이다.

두 번째는 대칭 D_n, [2,n], (*nn2), 2n차를 가진다.

가장 작은 부등변다면체는 면이 8개이고 위상적으로 정팔면체와 동일하다. 두번째 종류는 마름모 쌍각뿔이다. 첫번째 종류는 (0,0,±1), (±1,0,z), (0,±1,−z)으로 나타나는 꼭짓점 6개를 가진다. 여기서 z는 0과 1사이의 변수이며, z = 0 일 때 정팔면체를 만들고, z = 1일 때는 동일한 면에 있는 면을 병합하면 맞붙인 쐐기꼴이 된다. z > 1일 때, 이것은 오목해진다.

4-부등변 다면체의 기하학적 변형

z = 0.1	z = 0.25	z = 0.5	z = 0.95	z = 1.5

자기 교차하는 쌍각뿔은 별 다각형을 중심도형으로 가져서 존재하고, 각각의 다각형 변을 이 두 점으로 연결하는 삼각형 면으로 정의되었다. {p/q} 쌍각뿔은 콕서터 다이어그램 를 가진다.

5/2	7/2	7/3	8/3	9/2	9/4	10/3	11/2	11/3	11/4	11/5	12/5

면추이 짝수 변의 별은 다음 {8/3} 형태와 같이 비평면 지그재그형 꼭짓점, 안팎 변추이 형태, 또는 둘 다로 만들어질 수 있다:

정다각형	지그재그 정다각형	변추이	지그재그 변추이

• Anthony Pugh (1976). 《Polyhedra: A visual approach》. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

위키미디어 공용에 관련된
미디어 분류가 있습니다.

쌍각뿔

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dipyramid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isohedron”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Olshevsky, George. “Bipyramid”. 《Glossary for Hyperspace》. 2007년 2월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
  • VRML models (George Hart) <3> Archived 2021년 4월 27일 - 웨이백 머신 <4> Archived 2020년 12월 31일 - 웨이백 머신 <5> Archived 2020년 7월 23일 - 웨이백 머신 <6> Archived 2021년 4월 14일 - 웨이백 머신 <7> <8> Archived 2020년 4월 20일 - 웨이백 머신 <9> Archived 2020년 4월 17일 - 웨이백 머신 <10> Archived 2021년 4월 27일 - 웨이백 머신
    • Conway Notation for Polyhedra Try: "dPn", where n = 3, 4, 5, 6, ... example "dP4" is an octahedron.