순서체

대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
체 관련 나눗셈환  · 체  · 순서체  · 대수적 수체
가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
v t e

수학에서 순서체(順序體, 영어: ordered field)는 전순서가 주어진 체이다.

순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫 번째 정의는 다음과 같다. 체 ${\displaystyle (F,+,*)}$와 전순서 ${\displaystyle \leq }$는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.

1. ${\displaystyle a\leq b}$이면 ${\displaystyle a+c\leq b+c}$이다.
2. ${\displaystyle 0\leq a,b}$이면 ${\displaystyle 0\leq ab}$이다.

두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 ${\displaystyle P\subset F}$가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.

1. ${\displaystyle a,b\in P}$이면 ${\displaystyle ab\in P}$ 그리고 ${\displaystyle a+b\in P}$이다.
2. ${\displaystyle a\in F}$인 모든 원소에 대해 ${\displaystyle a^{2}\in P}$이다.
3. ${\displaystyle -1\not \in P}$이다.

이때 ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle F}$의 양수뿔(영어: positive cone)이라고 부른다. 이때 전순서 ${\displaystyle \leq }$를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle a\leq b\iff b-a\in P}$

• ${\displaystyle x\leq y,y\leq z}$이면 ${\displaystyle x\leq z}$이다.
• ${\displaystyle x\leq y,z>0}$이면 ${\displaystyle xz\leq yz}$이다.
• 모든 수 ${\displaystyle a}$는 ${\displaystyle -a\leq 0\leq a}$이거나 ${\displaystyle a\leq 0\leq -a}$이다.
• 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
• 가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

유리수 · 실수 · 대수적 수 · 계산 가능한 수 · 초실수는 모두 순서체를 이룬다. 초현실수의 모임은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.

실계수 유리 함수체는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

• ${\displaystyle x>c}$, 여기에서 ${\displaystyle c}$는 모든 실수 상수이다.
• ${\displaystyle p(x)=p_{0}x^{n}+\cdots }$, ${\displaystyle q(x)=q_{0}x^{m}+\cdots }$일 때 ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}>0\iff {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0}$.

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.

반면, 유한체와 p진수체는 순서체를 이룰 수 없다.

• “Ordered field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.