도박꾼의 파산

확률론에서 도박꾼의 파산(賭博軍의 破産, 영어: gambler’s ruin)은 유한한 초기 자산을 가지고 일련의 공평한 도박을 하는 도박꾼은 거의 확실하게 자산이 0이 되어 파산하게 된다는 정리이다.

도박꾼의 파산 문제는 다음과 같다. 두 도박꾼이 각각 초기 자산 ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} }$을 가진다고 하자. 이들이 일련의 도박을 하여, 패자가 승자에게 자산 1만큼을 주게 된다고 하자. 이렇게 일련의 도박을 계속하여, 둘 중 자산이 0이 되는 경우 파산하게 된다. 각 도박꾼이 하나의 도박을 이길 확률이 ${\displaystyle p_{1}}$과 ${\displaystyle p_{2}=1-p_{1}}$이라고 하자. 그렇다면 각 도박꾼이 파산할 확률 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$은 얼마인가?

이 경우, 공평한 도박 (${\displaystyle p_{1}=p_{2}=1/2}$)에서의 파산 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{1}={\frac {n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$

불공평한 도박 (${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$)에서의 파산 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{1}=1-{\frac {1-(p_{2}/p_{1})^{n_{1}}}{1-(p_{2}/p_{1})^{n_{1}+n_{2}}}}}$

${\displaystyle P_{2}=1-{\frac {1-(p_{1}/p_{2})^{n_{2}}}{1-(p_{1}/p_{2})^{n_{1}+n_{2}}}}}$

두 경우 모두 ${\displaystyle P_{1}+P_{2}=1}$이다. 즉, 둘 중 하나는 거의 확실하게 파산하게 된다.

이 문제에서 ${\displaystyle n_{1}\ll n_{2}}$인 경우를 생각하자. 즉, 카지노가 도박꾼보다 매우 더 부유하다고 하자. 이 경우 ${\displaystyle n_{2}\to \infty }$ 극한을 취하면 다음과 같다.

${\displaystyle P_{1}={\begin{cases}(p_{2}/p_{1})^{n_{1}}&p_{1}>p_{2}\\1&p_{1}\leq p_{2}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{2}=1-P_{1}}$

따라서, 도박꾼은 ${\displaystyle p_{1}>1/2}$인 경우에는 파산할 확률이 유한하고, ${\displaystyle p_{1}\leq 1/2}$인 경우에는 거의 확실하게 파산하게 된다. 도박꾼은 심지어 도박이 공평한 경우(${\displaystyle p_{1}=p_{2}=1/2}$)에도 거의 확실하게 파산한다.

이 문제는 1656년 블레즈 파스칼이 피에르 드 페르마에게 쓴 편지에서 최초로 등장한다.^[1] 이 문제는 같은 해 피에르 드 카르카비가 크리스티안 하위헌스에게 보낸 편지에서 다음과 같이 등장한다.^[2]

갑과 을이 세 개의 주사위를 가지고 노름을 한다고 하자. 갑은 세 주사위의 합이 11인 경우 1점을 얻고, 을은 합이 14인 경우 1점을 얻는다. 하지�� 일반적으로 점수가 증가하는 방식 대신에, 만약 자신이 이겼을 경우 상대방의 점수가 0인 경우에만 자신의 점수가 1점 증가하고, 만약 상대방의 점수가 양수인 경우 대신 상대방의 점수가 1 감소하게 된다고 하자. 즉, 마치 두 상대가 서로 짝을 이루고 서로를 상쇄하여, 지고 있는 편은 항상 점수가 0이게 된다. 이 노름에서는 최초로 점수가 12점이 되는 편이 승리한다. 갑과 을이 이길 확률은 각각 무엇인가?

하위헌스는 이 문제를 1657년 출판된 저서 《주사위 놀이에서의 논리》(라틴어: De ratiociniis in ludo aleae)^[3]에서 문제 5번으로 이 문제를 다루었고, 각각 이길 확률의 비가

244 140 625 : 282 429 536 481

라고 계산하였다.

• 도박
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• 켈리 공식

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gambler’s ruin”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.