일부 1-구들.
‖
x
‖
2
{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}}
수학 에서 단위구 는 고정된 중심점으로부터의 거리 가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 단위공 은 고정된 중심점에서 거리 가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 원점 으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.
예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.
단위구는 단순히 반지름 이 1인 구 이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 평행이동 과 크기변환 만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.
n 차원 공간의 유클리드 공간 에서, (n −1) 차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
=
1
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1}
n 차원 열린 단위 공은 다음 부등식 을 만족시키는 점들의 집합이다:
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
<
1
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1}
그리고 n 차원 닫힌 단위 공은 다음 부등식 을 만족시키는 점들의 집합이다:
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
≤
1
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1}
단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 x -, y -, 또는 z -축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
=
1
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}
n 차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 해석학 의 중요한 공식에 등장한다. n 차원 단위공의 부피 V n 감마 함수 를 사용해서 표현할 수 있다:
V
n
=
π
n
/
2
Γ
(
1
+
n
/
2
)
=
{
π
n
/
2
/
(
n
/
2
)
!
i
f
n
≥
0
i
s
e
v
e
n
,
π
⌊
n
/
2
⌋
2
⌈
n
/
2
⌉
/
n
!
!
i
f
n
≥
0
i
s
o
d
d
,
{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}
이 때 n !!은 이중 팩토리얼 이다.
(n −1)차원 단위구의 초부피 A n 즉 , n 차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:
A
n
=
n
V
n
=
n
π
n
/
2
Γ
(
1
+
n
/
2
)
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
/
2
)
,
{\displaystyle A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,}
여기서 마지막 등식은 n > 0
일부
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
A
n
{\displaystyle A_{n}}
V
n
{\displaystyle V_{n}}
0
0
(
1
/
0
!
)
π
0
{\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}}
0
(
1
/
0
!
)
π
0
{\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}
1
1
1
(
2
1
/
1
!
!
)
π
0
{\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}
2
(
2
1
/
1
!
!
)
π
0
{\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}
2
2
2
(
1
/
1
!
)
π
1
=
2
π
{\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }
6.283
(
1
/
1
!
)
π
1
=
π
{\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }
3.141
3
3
(
2
2
/
3
!
!
)
π
1
=
4
π
{\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }
12.57
(
2
2
/
3
!
!
)
π
1
=
(
4
/
3
)
π
{\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }
4.189
4
4
(
1
/
2
!
)
π
2
=
2
π
2
{\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}
19.74
(
1
/
2
!
)
π
2
=
(
1
/
2
)
π
2
{\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}
4.935
5
5
(
2
3
/
5
!
!
)
π
2
=
(
8
/
3
)
π
2
{\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}
26.32
(
2
3
/
5
!
!
)
π
2
=
(
8
/
15
)
π
2
{\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}
5.264
6
6
(
1
/
3
!
)
π
3
=
π
3
{\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}
31.01
(
1
/
3
!
)
π
3
=
(
1
/
6
)
π
3
{\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}
5.168
7
7
(
2
4
/
7
!
!
)
π
3
=
(
16
/
15
)
π
3
{\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}
33.07
(
2
4
/
7
!
!
)
π
3
=
(
16
/
105
)
π
3
{\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}
4.725
8
8
(
1
/
4
!
)
π
4
=
(
1
/
3
)
π
4
{\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}
32.47
(
1
/
4
!
)
π
4
=
(
1
/
24
)
π
4
{\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}
4.059
9
9
(
2
5
/
9
!
!
)
π
4
=
(
32
/
105
)
π
4
{\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}
29.69
(
2
5
/
9
!
!
)
π
4
=
(
32
/
945
)
π
4
{\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}
3.299
10
10
(
1
/
5
!
)
π
5
=
(
1
/
12
)
π
5
{\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}
25.50
(
1
/
5
!
)
π
5
=
(
1
/
120
)
π
5
{\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}
2.550
n ≥ 2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.
A n
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
A
1
=
2
{\displaystyle A_{1}=2}
A
2
=
2
π
{\displaystyle A_{2}=2\pi }
A
n
=
2
π
n
−
2
A
n
−
2
{\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
V n
V
0
=
1
{\displaystyle V_{0}=1}
V
1
=
2
{\displaystyle V_{1}=2}
V
n
=
2
π
n
V
n
−
2
{\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
A n V n n ≥ 0에 대해서도 계산할 수 있고, n 이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.
이것은 (x –1)차원 구의 초부피(즉 , x 차원 단위공의 표면의 "넓이")를 x 에 대한 연속 함수로 나타낸다. 이것은 x 차원 공의 부피를 x 에 대한 연속 함수로 나타낸다. 이 부분의 본문은
구 입니다.
반지름이 r 인 (n –1)차원 구의 표면적은 A n r n −1r 인 n 차원 공의 부피는 V n r n r 인 삼차원 공의 표면적은 A = 4π r 2 r 인 삼차원 공의 부피는 V = 4π r 3 / 3
더 정확하게, 노름 이
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
노름 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
열린 단위구 는 다음과 같다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
<
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}
이것은 (V ,||·||)의 닫힌 단위공 의 내부 이다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
≤
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}
후자는 전자와 그 공통 경계인 단위구 의 서로소 연합이고, (V ,||·||)의 단위구 는 다음과 같다:
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
=
1
}
{\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}
단위공 의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 R n l ∞ 의 경우에는[−1,1]n 둥근 공 은 일상적인 유클리드 거리 의 유한 차원의 경우에 기반하는 힐베르트 공간 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 단위구 를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 p 에 대한 이차원
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
p < 1일 때는 오목하고 p ≥ 1일 때는 볼록하다):
모든 노름 공간의 단위공은 삼각 부등식 에 의해서 반드시 볼록 해야 하기 때문에 이것은 조건 p ≥ 1이
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
이 이차원 단위공의 지름
C
p
{\displaystyle C_{p}}
C
0
=
C
∞
=
8
{\displaystyle C_{0}=C_{\infty }=8}
C
1
=
4
2
{\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}
C
2
=
2
π
.
{\displaystyle C_{2}=2\pi \,.}
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 거리 공간 으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, 초거리 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.
V 가 실이차 형식 F :V → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ V : F (p) = 1 }은 단위구[ 1] [ 2] V 의 단위 준-구 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
분할복소수 평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 단위 쌍곡선 을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x2 는 쌍대수 평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.
↑ Takashi Ono (1994) Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps , chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4
↑ F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations , "Generalized Spheres", page 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1
이 부분의 본문은 하우스도르프 측도입니다.
