고유값 분해

고유값 분해(eigen decomposition)는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다.

선형대수학에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 스펙트럼 분해)는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. 대각화 가능 행렬만이 인수분해될 수 있다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}}$ , I는 단위행렬, det는 행렬식

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-(-5)&-4\\-0&x-(1)\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(-5+1)x+(-5-0)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned}}}$

${\displaystyle x^{2}+4x-5=0}$

${\displaystyle x=1\;,\;-5}$

이어서

${\displaystyle x=-5}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(-5)-(-5)&-4\\-0&(-5)-(1)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4\\0&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle -4x_{2}=0}$

${\displaystyle -6x_{2}=0}$

${\displaystyle x_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix}}=x_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle x=1}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(1)-(-5)&-4\\-0&(1)-(1)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&-4\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 6x_{1}+-4x_{2}=0}$

${\displaystyle 6x_{1}=4x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}={{4x_{2}} \over {6}}}$

${\displaystyle x_{1}={{2} \over {3}}x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}x_{2}\\x_{2}\end{pmatrix}}=x_{2}{\begin{pmatrix}{{2} \over {3}}\\1\end{pmatrix}}}$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 ${\displaystyle P}$를 얻고 ,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

이어서

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}$

로부터 대각화 행렬 ${\displaystyle A^{D}}$ 을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}$

${\displaystyle PP^{-1}AP=PA^{D}}$

${\displaystyle AP={P}{A^{D}}}$

${\displaystyle AP{P^{-1}}={P}{A^{D}}{P^{-1}}}$

${\displaystyle A={P}{A^{D}}{P^{-1}}}$

행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-{{2} \over {3}}\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

• 임의의 행렬 A 와 ${\displaystyle {\Lambda }}$가 대각행렬일때,

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$

Q는 직교행렬

□ ^-1는 역행렬

${\displaystyle {\Lambda }}$는 A^D

• 임의의 행렬 A 가 대칭행렬일때,

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T}}$

Q는 직교행렬

□ ^T는 전치행렬

${\displaystyle {\Lambda }}$는 A^D

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• 대각화 행렬
• 특이값 분해

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