មេដ្យាននៃត្រីកោណ និងទីប្រជុំទំងន់ ក្នុងធរណីមាត្រ មេដ្យានទ័រ នៃអង្តក់គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពីកំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល នៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាននីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះត្រង់ចំនុចកណ្តាល ។
[ កែប្រែ ] មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណ ជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ចំនុចកណ្តាល នៃជ្រុងឈម។មេដ្យាទ័រនែជ្រុងMNនិងMPនៃត្រីកោណMNPប្រសព្វត្រង់Oបង្ហាញថាOM=ON=OP
[ កែប្រែ ] មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។
សំរាយបញ្ជាក់
គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាល នៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។
ត្រីកោណ ABC មានទីប្រជុំទំងន់ O តាមនិមយន័យ
A
D
=
D
B
,
A
F
=
F
C
,
B
E
=
E
C
{\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC\,}
ហេតុនេះ
S
A
D
O
=
S
B
D
O
,
S
A
F
O
=
S
C
F
O
,
S
B
E
O
=
S
C
E
O
{\displaystyle S_{ADO}=S_{BDO},S_{AFO}=S_{CFO},S_{BEO}=S_{CEO}\,}
ដែល
S
A
B
C
{\displaystyle S_{ABC}\,}
យើងបាន
S
A
B
O
=
S
A
B
E
−
S
B
E
O
{\displaystyle S_{ABO}=S_{ABE}-S_{BEO}\,}
S
A
C
O
=
S
A
C
E
−
S
C
E
O
{\displaystyle S_{ACO}=S_{ACE}-S_{CEO}\,}
ហេតុនេះ
S
A
B
O
=
S
A
C
O
{\displaystyle S_{ABO}=S_{ACO}\,}
S
A
D
O
=
S
D
B
O
,
S
A
D
O
=
1
2
S
A
B
O
{\displaystyle S_{ADO}=S_{DBO},S_{ADO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}}
ដោយ
S
A
F
O
=
S
F
C
O
,
S
A
F
O
=
1
2
S
A
C
O
=
1
2
S
A
B
O
=
S
A
D
O
{\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO},S_{AFO}={\frac {1}{2}}S_{ACO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}=S_{ADO}}
គេបាន
S
A
F
O
=
S
F
C
O
=
S
A
D
O
=
S
D
B
O
{\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}\,}
S
A
F
O
=
S
F
C
O
=
S
A
D
O
=
S
D
B
O
=
S
B
E
O
=
S
C
E
O
{\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}=S_{BEO}=S_{CEO}\,}
[ កែប្រែ ] ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ;
m
a
{\displaystyle m_{a}\,}
m
b
{\displaystyle m_{b}\,}
m
c
{\displaystyle m_{c}\,}
m
a
=
A
D
;
m
b
=
B
E
;
m
c
=
C
F
;
a
=
B
C
;
b
=
A
C
;
c
=
A
B
{\displaystyle m_{a}=AD;\quad m_{b}=BE;\quad m_{c}=CF;\quad a=BC;\quad b=AC;\quad c=AB\,}
m
a
{\displaystyle m_{a}\,}
4
m
a
2
+
a
2
=
2
(
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle 4m_{a}^{2}+a^{2}=2(b^{2}+c^{2})\,}
⇒
m
a
=
A
D
=
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
4
{\displaystyle \Rightarrow m_{a}=AD={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}
ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ
⇒
m
b
=
B
E
=
2
a
2
+
2
c
2
−
b
2
4
{\displaystyle \Rightarrow m_{b}=BE={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}
⇒
m
c
=
C
F
=
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
4
{\displaystyle \Rightarrow m_{c}=CF={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}
មេដ្យាន
A
A
1
{\displaystyle AA_{1}\,}
A
{\displaystyle A\,}
A
1
{\displaystyle A_{1}\,}
បារីសង់ នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ) ដែល
1
a
:
1
b
:
1
c
{\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}\,}
២:១
A
G
:
G
A
1
=
B
G
:
G
B
1
=
C
G
:
G
C
1
=
2
:
1
{\displaystyle AG:GA_{1}=BG:GB_{1}=CG:GC_{1}=2:1\,}
តាង
m
a
,
m
b
,
m
c
{\displaystyle m_{a},\quad m_{b},\quad m_{c}\,}
{
m
a
2
=
1
4
(
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
)
m
b
2
=
1
4
(
2
a
2
+
2
c
2
−
b
2
)
m
c
2
=
1
4
(
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}&m_{a}^{2}={\frac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})\\&m_{b}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})\\&m_{c}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})\end{cases}}}
⇒
m
a
2
+
m
b
2
+
m
c
2
=
3
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle \Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
តាង
p
m
=
1
2
(
m
a
+
m
b
+
m
c
)
{\displaystyle p_{m}={\frac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c})}
គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ
S
A
B
C
=
3
4
p
m
(
p
m
−
m
a
)
(
p
m
−
m
b
)
(
p
m
−
m
c
)
{\displaystyle \color {RoyalBlue}S_{ABC}={\frac {3}{4}}{\sqrt {p_{m}(p_{m}-m_{a})(p_{m}-m_{b})(p_{m}-m_{c})}}}
