数学の歴史的ブレイクスルー。絶対に繰り返されない「アインシュタイン」のタイルを発見

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　何十年も探し求められた「アインシュタイン」のタイルがついに発見されたそうだ。

　それは13の辺を持つジグソーパズルのような図形で、どれだけ並べても、絶対に同じパターンが繰り返されることはない。

　数学の世界で「非周期的モノタイル」と呼ばれるこの形状の発見は、数学の歴史の革新的発見（ブレイクスルー）と称されている。

　この図形の不思議さとすごさ、面白さを説明していこう。

非周期的タイルとは何か？

　「アインシュタイン」とは言っても、あの天才物理学者アルベルト・アインシュタインのことではない。ドイツ語で「1つの石」のことで、つまりは1枚のタイルであることを意味するものだ。

　これについて、発見者の1人であるカナダ、ウォータールー大学のクレイグ・カプラン教授は、「私たちは史上初の本��の”非周期的モノタイル”を紹介しています」と声明で述べている。

　「非周期的タイル」とは何か？ それは平面を隙間なく、かつ重ならないよう敷きつめたとき、どのように並べても規則的な繰り返しパターンが現れない形状のタイルのことだ。

　たとえば、床を正方形のタイルで、隙間がないように敷きつめてみるとしよう。するとどこまで行っても縦横に同じパターンが繰り返されている。

　その証拠に、ある部分をコピーして、それを平行に移動させてみよう。そこには必ずピッタリ重なるパターンがある。これが同じパターンが繰り返されるということだ。

　こうした繰り返しパターンがないのが、非周期的タイルだ。

　先ほどと同じように、どこかをコピーして、平行に移動させても、ピッタリ重なるパターンは絶対にない。

　ちなみにこうしたことを考察する数学分野のことを「タイリング」や「平面充填問題」という。

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ついに発見された「アインシュタイン」

　数学者が最初に非周期的タイルを発見したのは、1966年のこと。それは2万426種のタイルで構成されたものだった。

　その後の研究で、タイルの種類は92種、次に6種へと減っていき、1974年に2種のひし形でなる非周期的タイルが考案された。

　これは物理学者として有名なロジャー・ペンローズが考案したことから、「ペンローズタイル」と呼ばれている。

　が、これが高い壁となった。2種のタイルで構成されたものなら見つかったが、たった1種だけで非周期的に並ぶ1枚、すなわち”アインシュタイン（1つの石）”が見つからなかった。

　そんなもの本当にあるのかと思いたくもなるが、それがついに発見されたのだ。

　カプラン教授らはコンピュータ・モデリングを駆使して、そのアインシュタインが繰り返しパターンを作らず、それでいて表面を隙間なく敷きつめられることを証明。

　その結果を『arXiv』（2023年3月20日投稿）で閲覧できる査読前論文で紹介している。

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　それは根気のいる作業だったようで、研究チームの1人であるアーカンソー大学のチャイム・グッドマン＝ストロース教授は、「100万分の1の探し物ですよ」と語っている。

References:Scientists discover pattern that never repeats with ‘einstein’ tile / At Long Last, Mathematicians Have Found a Shape With a Pattern That Never Repeats / written by hiroching / edited by / parumo

追記（2023/03/06）13面体を13角形と変更して再送します。

本記事は、海外で公開された情報の中から重要なポイントを抽出し、日本の読者向けに編集したものです。

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