თვლის ორობითი სისტემა

თვლის ორობითი სისტემა — თვლის სისტემა, რომელიც აგებულია პოზიციურ პრინციპზე 2-ის ფუძით. ამ სისტემაში იყენებენ მხოლოდ ორ ნიშანს - ციფრებს 0 და 1; აქაც, ისევე როგორც ყოველ პოზიციურ სისტემაში, ციფრის მნიშვნელობა დამატებით დამოკიდებულია მის მიერ დაკავებულ ადგილზე. რიცხვი 2 ითვლება მეორე თანრიგის ერთეულად და ჩაიწერება ასე: 10 (იკითხება: „ერთი, ნული“). შემდეგი თანრიგის ყოველი ერთული ორჯერ მეტია წინაზე, ე. ი. ეს ერთეულები ადგენენ რიცხვთა მიმდევრობას: 2, 4, 8, 16, ..., 2ⁿ, ... იმისათვის, რომ ათობით სისტემაში ჩაწერილი რიცხვი ჩაიწეროს ორობით სისტემაში, მას მიმდევრობით ყოფენ 2-ზე და მიღებულ ნაშთებს (0 და 1) ჩაწერენ რიგით ბოლოდან პირველისაკენ. მაგ., 27=13·2+1; 13=6·2+1; 6=3·2+0; 3=1·2+1; 1=0·2+1; ამრიგად 27-ის ორობითი ჩაწერა იქნება 11011.

ამ სისტემაში განსაკუთრებით მარტივად სრულდება ყველა არითმეტიკული მოქმედება: მაგ., გამრავლების ტაბულა დაიყვანება ერთ ტოლობამდე 1·1=1, მაგრამ რიცხვების ჩაწერა მოითხოვს ციფრების დიდ რაოდენობას. მაგ., რიცხვი 7000 იქნება 13-ნიშნა, მაგრამ იმის გამო, რომ ეს სისტემა იყენებს მხოლოდ ორ ციფრს, იგი ხშირ შემთხვევაში სასარგებლოა თეორიული საკითხების განხილვისას და ეგმ-ზე გამოთვლებისას.

თვლა ორობით რიცხვებში ემყარება იმავე პრინციპს, რასაც ნებისმიერი სხვა თვლის სისტემა გვთავაზობს. თვლა იწყება ციფრიდან 0 და ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ინკრემენტაციის (საფეხურებრივი ზრდის) გზით. კერძოდ, თუ ორობითი რიცხვის ყველა პოზიციაზე 1-ანებია, მაშინ ეს უკანასკნელები 0-ებად იქცევიან და მარცხნიდან ემატება 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია, წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვენა განაპირა პოზიციიდან მოყოლებული ყველა 0 თანმიმდევრობით იქცევა 1-ად:

თუ კარგად დავაკვირდებით, ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგინდეს ამ რიცხვის შემადგენელი ციფრების 10-ის ხარისხებზე ნამრავლთა ჯამის მეშვეობით, მაგალითად, რიცხვი 4516 დაიშლება შემდეგნაირად:

ანუ, 10-ის ხარისხი ემთხვევა რიცხვში ციფრის პოზიციის ნომერს 'მინუს' 1. ანალოგიური პრინციპი მოქმედებს ორობითი რიცხვების გარდაქმნისას ათობითში, მხოლოდ ამ შემთხვევაში ფუძე 2-ის ტოლია. მაგალითად, ორობითი რიცხვი 110101₂ წარმოდგინდება თვლის ათობით სისტემაში შემდეგნაირად (ინდექსი 2 მიუთითებს რიცხვის ორობით სახეს):

ათობითი რიცხვის გარდასაქმნელად ორობითში, საჭიროა ეს რიცხვი მთელად გავყოთ 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლო პოზიციაზე, შემდეგ განაყოფი გავყოთ მთელად 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლოსწინა პოზიციაზე, და ა.შ. მანამ, სანამ განაყოფს არ მივიღებთ 1–ზე ნაკლებს:

53 : 2 = 26 ნაშთი: 1
26 : 2 = 13 ნაშთი: 0
13 : 2 = 6 ნაშთი: 1
6 : 2 = 3 ნაშთი: 0
3 : 2 = 1 ნაშთი: 1
1 : 2 = 0,5 ნაშთი: 1

მივიღეთ ნაშთების შემდეგი მიმდევრობა : 1 0 1 0 1 1. თუ ამ მიმდევრობას განვალაგებთ მისაღები ორობითი რიცხვის პოზიციებზე ბოლოდან, მივიღებთ: 110101₂

ეს ოპერაცია უმარტივესია ორობით არითმეტიკაში. იგი ეყრდნობა 4 ძირითად ტოლობას:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით შევკრიბოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 01101₂ და 10111₂:

   1 1 1 1 1     (<- ვიმახსოვრებთ)
     0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
------------------
  1 0 0 1 0 0 (<- შედეგი)

ძირითადი ტოლობებია:

   0 − 0 = 0
   0 − 1 = 1 (ვიმახსოვრებთ (-1)-ს)
   1 − 0 = 1
   1 − 1 = 0

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გამოვაკლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 1101110₂ და 10111₂:

       -1 -1 -1 -1   (<- ვიმახსოვრებთ)
    1 1 0 1 1 1 0
 -        1 0 1 1 1
-----------------------
     1 0 1 0 1 1 1

ძირითადი ტოლობებია:

0 • 0 = 0
0 • 1 = 0
1 • 0 = 0
1 • 1 = 1

მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გავამრავლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 1011₂ და 1010₂:

              1 0 1 1  
         ×   1 0 1 0  
         ---------------
              0 0 0 0   
  +       1 0 1 1     
  +    0 0 0 0  
  + 1 0 1 1  
  ------------------
     1 1 0 1 1 1 0

გაყოფა ორობით რიცხვებში ანალოგიურია გაყოფისა ათობით რიცხვებში. მაგალითად, გავყოთ 11011₂ (=27₁₀) 101₂ (=5₁₀) -ზე:

         1 1 0 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1
      − 1 0 1
        --------
            0 1 1
       −   0 0 0
            -------
              1 1 1
         −   1 0 1
              -------
                 1 0

როგორც ვხედავთ, გაყოფის პროცესი წარიმართა შემდეგნაირად: გასაყოფის პირველ სამ ციფრში 101 მოთავსდა ერთხელ, ნაშთი - 1. შემდეგ ჩამოვიტანეთ 1 გასაყოფიდან, მიღებულ რიცხვში 101 მოთავსდა 0-ჯერ, ნაშთი 11. კვლავ ჩამოვიტანეთ 1 და ამჯერად მასში 101 მოთავსდა ერთხელ. რამდენადაც გასაყოფიდან ჩამოსატანი ციფრები ამოიწურა, გაყოფას ვწყვეტთ. შედეგი შემდეგი სახისაა: განაყოფში მივიღეთ 101, ხოლო ნაშთში - 10. მართლაც, თუ ზემოხსენებულ ყველა ორობით რიცხვს გადავიყვანთ ათობითში, დავრწმუნდებით, რომ 27₁₀ : 5₁₀ = 5₁₀ ნაშთი: 2₁₀

• Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007) Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, FL: CRC Press, გვ. 37. ISBN 0-8493-7189-9. 
• Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014) Teaching the I Ching. Oxford University Press. ISBN 0-19-976681-9. 

ვიკისაწყობში არის გვერდი თემაზე:

თვლის ორობითი სისტემა

• Binary System at cut-the-knot
• Conversion of Fractions at cut-the-knot
• Binary Digits at Math Is Fun
• How to Convert from Decimal to Binary at wikiHow
• Learning exercise for children at CircuitDesign.info
• Binary Counter with Kids დაარქივებული 2010-01-17 საიტზე Wayback Machine.
• "Magic" Card Trick დაარქივებული 2010-01-23 საიტზე Wayback Machine.
• Quick reference on Howto read binary
• Binary converter to HEX/DEC/OCT with direct access to bits დაარქივებული 2011-02-21 საიტზე Wayback Machine.
• Sir Francis Bacon's BiLiteral Cypher system დაარქივებული 2016-09-23 საიტზე Wayback Machine. , predates binary number system.