解析学基礎/指数関数と対数関数

${\displaystyle a>0}$、${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$のとき、aをn回かけた数を${\displaystyle a^{n}}$であらわす。すなわち、 ${\displaystyle \underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n{\text{ 個}}}=a^{n}}$である。
また、${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$、${\displaystyle a^{0}=1}$とする。

このとき、${\displaystyle a^{n}}$は、${\displaystyle a>1}$のとき単調増加、${\displaystyle 0<a<1}$のとき単調減少、${\displaystyle a=1}$のとき定数である。

${\displaystyle a>0}$、${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$、${\displaystyle q\in \mathbb {Z} }$のとき、${\displaystyle a^{\frac {q}{p}}={\sqrt[{p}]{a^{q}}}}$として定義する。

${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \mathbb {N} ,q_{1},q_{2}\in \mathbb {Z} ,{\frac {q_{1}}{p_{1}}}>{\frac {q_{2}}{p_{2}}}}$のとき、
${\displaystyle \left({\sqrt[{p_{1}}]{a^{q_{1}}}}\right)^{p_{1}p_{2}}-\left({\sqrt[{p_{2}}]{a^{q_{2}}}}\right)^{p_{1}p_{2}}=a^{p_{2}q_{1}}-a^{p_{1}q_{2}}}$
であることから、${\displaystyle a^{q}(q\in \mathbb {Q} )}$は、${\displaystyle a>1}$のとき単調増加、${\displaystyle 0<a<1}$のとき単調減少、${\displaystyle a=1}$のとき定数であることがわかる。

${\displaystyle \alpha >0}$を無理数とし、${\displaystyle \alpha }$に収束する有理数の単調増加列を${\displaystyle r_{n}}$とする。アルキメデスの原理より、${\displaystyle \alpha }$より大きい自然数Nが存在する。 ${\displaystyle a>1}$とすると、そのようなNと十分大きいnに対し${\displaystyle 1<a^{r_{n}}<a^{N}}$なので、有界で単調な数列${\displaystyle a^{r_{n}}}$は収束する。 この収束値は、${\displaystyle r_{n}}$によらないことを示す。

${\displaystyle r_{n},s_{n}}$を、無理数${\displaystyle \alpha }$に収束する有理数の単調増加列とし（したがって、${\displaystyle r_{n},s_{n}<\alpha }$)、${\displaystyle a^{r_{n}}\to \beta }$とする。任意の${\displaystyle \epsilon }$に対して、${\displaystyle 0<\beta -a^{r_{N}}<\epsilon }$を満たす自然数Nが存在し、${\displaystyle s_{n}}$が${\displaystyle \alpha }$に収束することから、nを十分大きくとれば、${\displaystyle r_{N}<s_{n}}$を満たす。そのようなnに対し、${\displaystyle 0<\beta -a^{s_{n}}<\epsilon }$なので、${\displaystyle a^{s_{n}}\to \beta }$である。

この収束値の値を${\displaystyle a^{\alpha }}$の値として定義する。 ${\displaystyle 0<a<1}$についても同様である。また、${\displaystyle \alpha <0}$のときは${\displaystyle a^{\alpha }={\frac {1}{a^{-\alpha }}}}$と定める。 定義から、指数関数${\displaystyle a^{x}(x\in \mathbb {R} )}$は${\displaystyle a>1}$のとき単調増加、${\displaystyle 0<a<1}$のとき単調減少、${\displaystyle a=1}$のとき定数である。

${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} ,a,b>0}$のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。

• ${\displaystyle a^{s}a^{t}=a^{s+t}}$
• ${\displaystyle (a^{s})^{t}=a^{st}}$
• ${\displaystyle (ab)^{s}=a^{s}b^{s}}$

証明

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。

• ${\displaystyle a>1}$のとき${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=\infty ,\lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0}$
• ${\displaystyle 0<a<1}$のとき${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=0,\lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=\infty }$

証明

指数関数${\displaystyle y=a^{x}}$の逆関数を${\displaystyle y=\log _{a}x}$と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して${\displaystyle y=\log x}$と書く。

定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。${\displaystyle 0<a,b\neq 1,x,y,r\in \mathbb {R} ,x,y>0}$のとき、

• ${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}x+\log _{a}y}$
• ${\displaystyle \log _{a}x^{r}=r\log _{a}x}$
• ${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}$
• 対数関数は連続である。
• ${\displaystyle a>1}$のとき${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\log _{a}x=\infty ,\lim _{x\rightarrow +0}\log _{a}x=-\infty }$
• ${\displaystyle 0<a<1}$のとき${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\log _{a}x=-\infty ,\lim _{x\rightarrow +0}\log _{a}x=\infty }$

証明