Test di Kolmogorov-Smirnov

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Il test di Kolmogorov-Smirnov è un test non parametrico sviluppato per due campioni da Smirnov nel 1939, sulla base delle considerazioni relative a un solo campione di Kolmogorov del 1933,^[1] che verifica la forma delle distribuzioni campionarie; in particolare può essere utilizzato per confrontare un campione con una distribuzione di riferimento oppure per confrontare due campioni.

La statistica del test a una coda è calcolata come la distanza tra la funzione di ripartizione di riferimento e la funzione di ripartizione empirica del campione. La statistica del test a due code è calcolata come la distanza tra le funzioni di ripartizione empiriche dei due campioni ed è applicabile a dati per lo meno ordinali. Nella sua formulazione esatta prevede che le variabili siano continue. Non richiede di per sé alcuna ipotesi sulla distribuzione campionaria, salvo nel caso a un campione, in cui viene testata una distribuzione a propria scelta.

Sia ${\displaystyle X}$ una variabile casuale generatrice continua, con funzione di ripartizione ${\displaystyle F(x)}$. Un problema che spesso ricorre nella pratica è quello di verificare che la variabile casuale ${\displaystyle X}$ abbia funzione di ripartizione uguale ad una data ${\displaystyle F_{0}(x)}$. In simboli, il problema di ipotesi è del tipo:

${\displaystyle H_{0}:F(x)=F_{0}(x),\ \forall x,}$

${\displaystyle H_{1}:F(x)\neq F_{0}(x),\ {\text{per }}{\text{qualche }}x.}$

Questo significa che l'ipotesi non si riferisce soltanto ad un parametro della variabile casuale ${\displaystyle X}$ (come accade nel test dei segni), ma all'intera sua funzione di ripartizione.

Sia allora ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ un campione casuale di ampiezza ${\displaystyle n}$ della variabile casuale ${\displaystyle X}$. Sulla base di esso si vuole costruire un test per il problema di ipotesi. Poiché tale problema riguarda la funzione di ripartizione della variabile casuale ${\displaystyle X}$, è intuitivo basare la statistica test sulla funzione di ripartizione empirica. Dette quindi ${\displaystyle X(1),\ldots ,X(n)}$ le ${\displaystyle n}$ variabili casuali campionarie ordinate, la funzione di ripartizione empirica è definita come:

${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\text{se }}x\leq X(1)\\{\frac {k}{n}},&{\text{se }}X(k)\leq x<X(k+1)\\1,&{\text{se }}x\geq X(n)\end{cases}}}$

o equivalentemente in forma più compatta:

${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{X(i)\leq x}}$

dove ${\displaystyle I_{X(i)\leq x}}$ è la funzione indicatrice.

La ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ è una "stima campionaria" della "vera" funzione di ripartizione ${\displaystyle F(x)}$ della variabile casuale ${\displaystyle X}$. Anzi, siamo in presenza di uno stimatore consistente, poiché si può dimostrare che, come conseguenza della legge debole dei grandi numeri, qualunque sia ${\displaystyle x}$ la ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ tende in probabilità, per ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$, a ${\displaystyle F(x)}$.

Poiché ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ stima la "vera" funzione di ripartizione ${\displaystyle F(x)}$, è logico basarsi su una qualche "distanza" tra ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ e ${\displaystyle F_{0}(x)}$. Se ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ e ${\displaystyle F_{0}(x)}$ sono "vicine", cioè sufficientemente "simili", non si rifiuta l'ipotesi nulla, mentre la si rifiuta se ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ e ${\displaystyle F_{0}(x)}$ sono "lontane", cioè se "molto dissimili".

Come "distanza" si usa la seguente:

${\displaystyle D_{n}=\sup _{-\infty <x<+\infty }\left|{\hat {F}}_{n}(x)-F_{0}(x)\right|}$

dove ${\displaystyle \sup }$ è l'estremo superiore dell'insieme delle distanze, cioè la massima differenza in valore assoluto tra la funzione di ripartizione empirica ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ e la funzione di ripartizione teorica ${\displaystyle F_{0}(x)}$ ipotizzata come vera. Per valori "grandi" di ${\displaystyle D_{n}}$ si rifiuta l'ipotesi nulla, mentre non la si rifiuta per valori "piccoli" di ${\displaystyle D_{n}}$ (vedasi variabile casuale test di Kolmogorov-Smirnov).

Dunque, il "senso" della statistica ${\displaystyle D_{n}}$ è intuitivamente evidente. Molto complicato invece è il calcolo della sua distribuzione di probabilità (sotto l'ipotesi nulla). Si può comunque dimostrare che sotto l'ipotesi nulla la distribuzione di probabilità della statistica test ${\displaystyle D_{n}}$ non dipende dalla particolare forma funzionale di ${\displaystyle F_{0}(x)}$.

Questi risultati sono validi per le variabili casuali che hanno funzione di ripartizione continua. Se invece ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale discreta e la sua funzione di ripartizione è quindi discontinua, la distribuzione di probabilità della variabile casuale ${\displaystyle D_{n}}$ dipende proprio dalla discontinuità della funzione di ripartizione di ${\displaystyle X}$.

Nel 1933 Andrej Nikolaevič Kolmogorov introdusse la statistica ${\displaystyle |F_{n}(x)-F_{0}(x)|}$, e nel 1939 Nikolaj Vasil'evič Smirnov la utilizzò per ricavare quello che oggi è noto come test di Kolmogorov-Smirnov.^[1]

Il test di Kolmogorov-Smirnov è per certi versi l'alternativa non parametrica al test t di Student; quando tale test è applicabile (ipotesi parametrica di distribuzione gaussiana) e si sceglie lo stesso il test di Kolmogorov-Smirnov, allora l'efficienza-potenza è pari a circa il 95% per piccoli campioni e diminuisce leggermente per campioni grandi.

Rispetto ai non parametrici test della mediana e test del chi quadrato (applicato a dati ordinali) è più potente e dunque da preferire.

Si ritiene che per campioni molto piccoli il test di Kolmogorov-Smirnov sia da preferire al test di Wilcoxon-Mann-Whitney mentre per campioni grandi sia quest'ultimo da preferire.

• variabile casuale test di Kolmogorov-Smirnov
• Test di Kuiper
• statistica non parametrica, test non parametrico
• Andrey Nikolaevich Kolmogorov
• Test di Girone
• Test di Shapiro-Wilk, test statistico per la verifica di normalità di un insieme di valori

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