Sfera di Bloch

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In meccanica quantistica, la sfera di Bloch è una rappresentazione geometrica dello spazio degli stati "puri" di un sistema quanto-meccanico a 2 livelli indicati con ${\displaystyle \mathbf {q} }$. In altri termini essa rappresenta gli stati "puri" di un registro quantistico a 1 qubit. La sfera di Bloch è geometricamente una sfera di raggio unitario i cui punti sulla superficie sono in corrispondenza biunivoca con gli stati "puri" di ${\displaystyle \mathbf {q} }$; questa corrispondenza può essere determinata esplicitamente e fornisce una rappresentazione di ${\displaystyle \mathbf {q} }$ spesso utile.

Si determina questa corrispondenza, cioè la descrizione di un qubit nella sfera di Bloch. Un qualsiasi stato ${\displaystyle \psi }$ di ${\displaystyle \mathbf {q} }$ può essere scritto come la "sovrapposizione" complessa di due vettori ket ${\displaystyle |0\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ costituenti una base ortonormale dello spazio di Hilbert di ${\displaystyle \mathbf {q} }$. Questa rappresentazione dipendente da 4 parametri reali è notoriamente ridondante, sia perché sono sufficienti i vettori di norma 1, sia perché i fattori di fase non influiscono sugli stati fisici. Si può supporre che il coefficiente di ${\displaystyle |0\rangle }$ sia reale e non negativo: con questa scelta ogni ${\displaystyle \psi }$ utile e di norma ${\displaystyle 1}$ viene rappresentato come:

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\,|0\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\,|1\rangle }$

con

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi }$.

I parametri ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \theta }$, un po' diversi da quelli utilizzati solitamente per le coordinate sferiche, identificano univocamente un punto di coordinate ${\displaystyle (x,y,z)}$ sulla sfera unitaria dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ tramite le seguenti espressioni:

${\displaystyle {\begin{cases}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{cases}}}$.

Questa corrispondenza è biunivoca ad eccezione dei punti ${\displaystyle (0,0,1)}$ e ${\displaystyle (0,0,-1)}$ per i quali ${\displaystyle \phi }$ è ininfluente.

Due punti agli antipodi della superficie della sfera rappresentano vettori fra loro ortogonali.

In questa rappresentazione ${\displaystyle |0\rangle }$ è mappato nel punto ${\displaystyle (0,0,1)}$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ è mappato nel punto ${\displaystyle (0,0,-1)}$. Ad eccezione di questi due poli ogni coppia ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ si trova in corrispondenza biunivoca con uno stato di ${\displaystyle \mathbf {q} }$.

Prende nome dal fisico Felix Bloch.

• Computer quantistico

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla sfera di Bloch

• (EN) Eric W. Weisstein, Bloch Sphere, su MathWorld, Wolfram Research.

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