Piccolo dodecicosaedro

Piccolo dodecicosaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 esagoni 12 decagoni
Nº facce	32
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-28
Incidenza dei vertici	6.10.6/5.10/9
Notazione di Wythoff	3 5 (3/25/4) |
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo dodecicosacrono
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice Poliedro duale
Manuale

In geometria, il piccolo dodecicosaedro è un poliedro stellato uniforme avente 32 facce - 20 esagonali e 12 decagonali - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo dodecicosaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3\varphi -4)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm (2-\varphi ),\,\pm 2(\varphi -1)\,\pm (2\varphi -3)\right)}$

dove ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ è la sezione aurea.

Il piccolo dodecicosaedro, spesso indicato con il simbolo U₅₀ e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, ha la stessa disposizione di vertici del grande dodecaedro troncato stellato, inoltre, esso condivide la disposizione degli spigoli con il piccolo dodecicosidodecaedro ditringonale, con cui ha in comune la disposizione delle facce decagonali, e con il piccolo icosicosidodecaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce esagonali.

Grande dodecaedro troncato stellato

Piccolo icosicosidodecaedro

Piccolo dodecicosidodecaedro ditrigonale

Piccolo dodecicosaedro

Piccolo dodecicosacrono
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Antiparallelogrammi
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	32
Caratteristica di Eulero	-28
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Piccolo dodecicosaedro
Manuale

Il piccolo dodecicosacrono è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo dodecicosaedro, avente per facce 60 antiparallelogrammi.^[2]

Dato un piccolo dodecicosaedro di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo dodecicosacrono come composto da 60 facce intersecanti a forma di antiparallelogramma, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno due coppie di angoli uguali di ampiezza pari a ${\displaystyle \arccos({\frac {5}{12}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 12,661\,078\,804\,43^{\circ }}$ e ${\displaystyle \arccos(-{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}{\sqrt {5}})\approx 129,657\,475\,656\,13^{\circ }}$, con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}}$ e le due diagonali che si incontrano con un angolo di ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{12}}+{\frac {19}{60}}{\sqrt {5}})\approx 37,681\,445\,539\,45^{\circ }}$.

• (EN) Eric W. Weisstein, Small Dodecicosahedron, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Eric W. Weisstein, Piccolo dodecicosacrono, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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