Ottaedro iperbolico

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L'ottaedro iperbolico è un poliedro iperbolico. È un caso particolare di ellissoide astroidale.

Le sue equazioni parametriche sono:

${\displaystyle x=\left(\cos \phi \cos \theta \right)^{3}}$

${\displaystyle y=\left(\sin \phi \cos \theta \right)^{3}}$

${\displaystyle z=\left(\sin \theta \right)^{3}}$

con ${\displaystyle -\pi /2\leq \phi <\pi /2{\mbox{,}}\quad -\pi \leq \theta <\pi }$

L'equazione cartesiana è:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=1{\frac {}{}}}$

L'elemento infinitesimale di area è:

${\displaystyle dA=|\sin(\phi )||\sin(\theta )|\cos(\phi )\cos(\theta )^{4}{\sqrt {9-2\cos(4\phi )\cos(\theta )^{2}-7\cos(2\theta )}}d\phi d\theta }$

da cui:

${\displaystyle A={\frac {17}{12}}\pi }$

La sua curvatura gaussiana è:

${\displaystyle K={\frac {{\text{sec}}(\theta )^{4}}{9\left({\text{cos}}(\phi )^{2}{\text{cos}}(\theta )^{2}{\text{sin}}(\phi )^{2}+{\text{sin}}(\theta )^{2}\right)^{2}}}}$

La curvatura media, invece è

${\displaystyle H=({\frac {\left(-8\cos(4\phi )(3\cos(2\theta )-1)\cos ^{3}(\theta )+38\cos(\theta )-25\cos(3\theta )+3\cos(5\theta )\right)\sec ^{2}(\theta )\sin(\phi )\tan(\phi )\tan ^{2}(\theta )}{12\left(\left(-2\cos(4\phi )\cos ^{2}(\theta )-7\cos(2\theta )+9\right)\sin ^{2}(\phi )\sin ^{2}(\theta )\right)^{3/2}}}}$.

• Ellissoide astroidale
• Geometria iperbolica
• Astroide

• (EN) l'ottaedro iperbolico su MathWorld, su mathworld.wolfram.com.

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