Campo dei quozienti

In algebra, il campo dei quozienti o campo delle frazioni o campo quoziente di un dominio d'integrità unitario ${\displaystyle D}$ è un campo ${\displaystyle F}$ tale che ogni elemento di ${\displaystyle F}$ può essere scritto come una frazione ${\displaystyle a/b}$, dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono elementi di ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle b}$ è diverso dallo zero di ${\displaystyle D}$, e dove la frazione ${\displaystyle a/b}$ è definita (mediante la costruzione descritta nel seguito) come una classe di equivalenza di coppie ${\displaystyle (a,b)}$.

Ad esempio, l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei numeri razionali è il campo dei quozienti dell'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dei numeri interi. Il campo delle frazioni di un campo ${\displaystyle F}$ coincide con sé stesso.

È un caso particolare di localizzazione di un anello.

La costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità unitario ricalca la costruzione formale dei razionali a partire dagli interi: nel prodotto cartesiano ${\displaystyle D\times (D\setminus \{0\})}$ si definisce la relazione di equivalenza

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.}$

Nell'insieme quoziente ${\displaystyle F}$ di questa relazione si definiscono poi le due operazioni tra classi di equivalenza

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].}$

che sono operazioni interne e definite in ${\displaystyle F}$ e danno ad esso la struttura di campo. All'interno di ${\displaystyle F}$ gli elementi del tipo ${\displaystyle [(a,1)]}$ rappresentano gli elementi di ${\displaystyle D}$, ovvero l'insieme ${\displaystyle D^{*}=\{[(a,1)]|a\in D\}\subset F}$ è una copia isomorfa di ${\displaystyle D.}$

L'elemento di ${\displaystyle F}$ costituito dalla classe di equivalenza ${\displaystyle [(a,b)]}$ di una coppia ${\displaystyle (a,b)}$ viene anche indicato col simbolo di frazione ${\displaystyle a/b}$.^[1]

Il campo dei quozienti di un dominio d'integrità assegnato è unico, ovvero tutti i campi dei quozienti di un dato dominio d'integrità unitario sono isomorfi tra loro; inoltre i campi dei quozienti di due domini d'integrità unitari isomorfi sono a loro volta isomorfi.

• Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

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