Arcocotangente

In matematica, e in particolare in trigonometria, l'arcocotangente è la funzione definita come funzione inversa della cotangente di un angolo nell'intervallo ${\displaystyle \left(0,\pi \right)}$.^[1]

La notazione matematica dell'arcocotangente è ${\displaystyle \operatorname {arccot} }$ o ${\displaystyle \mathrm {arccotg} }$; è comune anche la scrittura piuttosto ambigua ${\displaystyle \cot ^{-1}}$.

L'arcocotangente è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i numeri reali:

${\displaystyle \operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \left(0,\pi \right).}$

Esistono inoltre i limiti

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\operatorname {arccot} x=0,}$

e

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {arccot} x=\pi .}$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$, essendo ${\displaystyle \operatorname {arccot} x=\pi -\operatorname {arccot} \left(-x\right)}$.

La derivata della funzione arcocotangente è:^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {d}{dx}}\arctan {\frac {1}{x}}.}$^[1]

La serie di Taylor corrispondente è:

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots .}$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

${\displaystyle \operatorname {arccot} \left(-x\right)=\pi -\operatorname {arccot} x.}$

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocotangente del rapporto fra il suo cateto adiacente e il cateto opposto.^[2]

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-538-0433-4.

• Trigonometria
• Cotangente
• Arcotangente
• Funzione inversa

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'arcocotangente

• arcocotangente, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arccot, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• arcocotangènte, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• arcocotangènte, su sapere.it, De Agostini.
• arcocotangente, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Arcocotangente, su MathWorld, Wolfram Research.

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