Innfeldi

Innfeldi (oft kallað punkt- eða depilmargfeldi) er tvílínulegur virki, sem skilgreindur er á vigurrúmi. Er ýmist táknuð með tveimur oddklofum, ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, eða með punkti, ${\displaystyle a\cdot b}$. Vigurrúm ásamt innfeldi er kallað innfeldisrúm.

Látum ${\displaystyle \mathbb {F} }$ vera svið sem er annaðhvort rauntölusviðið ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eða tvinntölusviðið ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Látum ${\displaystyle V}$ vera vigurrúm yfir ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Innfeldi ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ yfir vigurrúm ${\displaystyle V}$ er skilgreint sem vörpun ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {F} }$ þ.a. eftirfarandi skilyrði eru uppfyllt fyrir öll ${\displaystyle x,y,z\in V}$ og ${\displaystyle a\in \mathbb {F} }$:

1. ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$
2. ${\displaystyle \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle }$
3. ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$
4. ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$ og ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$
5. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ ef og aðeins ef ${\displaystyle x=0}$

Venjulega innfeldið á ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (n-vítt Evklíðskt rúm) er skilgreint þannig:

${\displaystyle a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}}$, þar sem ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ og ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$.

Einnig má finna innfeldi tveggja vigra með því að margfalda saman lengdir þeirra og kosínus af horninu milli þeirra:

${\displaystyle a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos(\theta )}$, þar sem ${\displaystyle \theta }$ er hornið milli vigranna a og b.

Þá er maður í raun að ofanvarpa öðrum vigrinum á hinn og margfalda svo saman lengdir þeirra.

Innföldun er víxlin og dreifin aðgerð.

Algengt er að nota innfeldi til að finna horn milli tveggja vigra ef hnit þeirra eru þekkt. Það má gera svona:

${\displaystyle a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos(\theta )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\Rightarrow \cos(\theta )={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \over \|a\|\|b\|}}$. Hér táknar ${\displaystyle \|a\|}$ lengd vigursins a.

Mikilvægur eiginleiki innfelda er að innfeldi hornréttra vigra er núll. Það er auðvelt að sjá það því að þátturinn ${\displaystyle \cos(\theta )}$ verður núll þegar ${\displaystyle \theta =90^{\circ }+180^{\circ }k}$ þar sem ${\displaystyle k\in Z}$

  Þessi stærðfræðigrein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.