Peta (matematika)

Dalam matematika, peta sering digunakan sebagai sinonim dari fungsi,^[1] tetapi bisa juga berarti konsep yang lebih umum. Awalnya, ini adalah singkatan dari istilah pemetaan, yang biasanya mengacu kepada tindakan menerapkan sebuah fungsi ke elemen-elemen domainnya. Terminologi ini tidak sepenuhnya ditetapkan, karena pada umumnya tidak didefinisikan secara formal, dan bisa dianggap sebuah jargon.^[2][3] Istilah ini mungkin berasal dari generalisasi proses membuat peta geografis, yang dilakukan dengan memetakan permukaan Bumi ke selembar kertas.^[4]

Peta bisa jadi merupakan fungsi atau morfisme, meskipun keduanya memiliki beberapa kesamaan.^[4] Istilah peta bisa digunakan untuk membedakan jenis-jenis fungsi yang istimewa, misalnya homomorfisme. Contohnya, peta linear adalah sebuah homomorfisme dari ruang vektor, sedangkan istilah fungsi linear bisa jadi punya makna yang sama.^[5][6] Dalam teori kategori, peta bisa berarti sebuah morfisme, yang merupakan generalisasi dari konsep fungsi. Terkadang, istilah transformasi juga bisa digunakan untuk makna yang sama.^[4] Terdapat beberapa penggunaan yang lebih jarang dalam logika dan teori graf.

Dalam banyak cabang matematika, istilah peta digunakan dalam artian sebuah fungsi,^[7][3][8] terkadang dengan sifat spesifik yang penting untuk cabang tersebut. Contohnya, "peta" adalah sebuah "fungsi kontinu" dalam topologi, sebuah "transformasi linear" dalam aljabar linear, dll.

Beberapa pengarang, contohnya Serge Lang,^[9] menggunakan "fungsi" hanya untuk peta yang kodomainnya merupakan sebuah himpunan bilangan (sebuah subhimpunan dari R atau C), dan menggunakan istilah pemetaan untuk fungsi yang lebih umum.

Berbagai jenis peta merupakan subjek dari teori-teori penting, di antaranya adalah homomorfisme dalam aljabar abstrak, isometri dalam geometri, operator dalam analisis dan representasi dalam teori grup.^[4]

Dalam teori kategori, "peta" biasanya digunakan sebagai sinonim dari "morfisme" atau "anak panah", dan sifatnya lebih umum daripada "fungsi".^[10] Contohnya, sebuah morfisme ${\displaystyle f:\,X\to Y}$ dalam sebuah kategori konkret (morfisme yang bisa dianggap sebagai fungsi) membawa informasi tentang domain (${\displaystyle X}$ yang merupakan sumber morfisme) dan kodomainnya (${\displaystyle Y}$ yang merupakan tujuan). Dalam definisi fungsi ${\displaystyle f:X\to Y}$ yang sering digunakan, ${\displaystyle f}$ adalah subhimpunan dari ${\displaystyle X\times Y}$ yang terdiri dari semua pasangan ${\displaystyle (x,f(x))}$ untuk ${\displaystyle x\in X}$. Dalam artian ini, fungsi tidak membawa informasi tentang himpunan ${\displaystyle Y}$ yang digunakan sebagai kodomain; hanya jangkauan ${\displaystyle f(X)}$ yang ditentukan oleh fungsi.