Բյուրկին ֆուտբոլով սկսել է զբաղվել իր ծննդավայրում, իսկ 14 տարեկանում հրավիրվել է «Յանգ Բոյս» ֆուտբոլային ակումբի ակադեմիա։ Այնտեղ անցկացրած 4 տարուց 2-ում նա խաղաց թիմի Մ21 կազմում։ 2009 թ.-ից Ռոմանը սկսեց ճանապարհորդել՝ վարձավճարով հանդես գալով տարբեր ակումբներում։ 2009/10 մրցաշրջանի կես տարի անցկացրեց «Տուն»-ում։ 2010/11 մրցաշրջանը սկսեց «Շաֆֆհաուզեն»-ում, որտեղ նա խաղաց 9 խաղ, որից հետո վերադարձավ «Յանգ Բոյս» և անգամ հասցրեց 2 խաղ անցկացնել ազգային առաջնությունում, իսկ հետո կրկին վարձավճարով հեռացավ ակումբից։ 2011 թ.-ից նա սկսեց հանդես գալ «Գրասսհոպպեր»-ում։ 2,5 տարում Բրյուկին հասցրեց խաղալ 75 խաղ և դառնալ թիմի առաջին համարը, որից հետո ակումբի կառավարությունը որոշեց 1,8 մլն. եվրոյով գնել երիտասարդ դարպասապահի տրանսֆերը։ Բյուրկիի գլխավոր հաջողությունը եղավ 2013 թ.-ին, երբ իր թիմը 10 տարվա մեջ առաջին անգամ դարձավ Շվեյցարիայի գավաթակիր ՝ եզրափակչում 11-մետրանոց հարվածաշարում հաղթելով «Բազել»-ին։
2015 թ. հունիսի 14-ին Բյուրկին պայմանագիր կնքեց Դորտմունդի«Բորուսիայի» հետ մինչև 2019 թ.[4]։ Ռոման Վայդենֆելերի կարիերան ավարտելուց հետո՝ 2018 թվականի ամռանը, պարզ դարձավ, որ Բյուրկին այդուհետև կշարունակի իր ելույթները 1 համարի մարզաշապիկի ներքո՝ նախկին 38-ի փոխարեն։