Ռացիոնալ ֆունկցիա

Ռացիոնալ ֆունկցիա, այն ֆունկցիան, որը ներկայացվում է այնպիսի կոտորակի տեսքով, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամ են։ Ռացիոնալ արտահայտությունը այն հանրահաշվական արտահայտություն է, որի ներկայացման մեջ չկան արմատներ։

Ռացիոնալ ֆունկցիա կոչվում է ${\displaystyle {\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}$ տեսքի ֆունկցիան, որտեղ  ${\displaystyle P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$,  ${\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}$ —ը ցանկացած քանակի պարամետր ունեցող բազմանդամներ են։

Ֆունկցիան գոյություն ունի փոփոխականի ցանկացած արժեքի դեպքում, բացի ${\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}$-ի զրո ընդունած արժեքների դեպքում։

Ռացիոնալ արտահայտությունը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը չի պարունակում արմատանշան։ Ալյ կերպ ասած, դա մեկ կամ մի քանի հանրահաշվական մեծություններ են (թվեր և փոփոխականներ), որոնք միմյանց հետ կապված են թվաբանական գործողության նշաններով՝ գումարումով, հանումով, բազմապատկումով, բաժանումով, ամբողջ ցուցիչով աստիճանի բարձրացումով, ինչպես նաև տարբեր տեսակի փակագծերով, օրինակ

• ${\displaystyle x+x^{-1}}$
• ${\displaystyle {\frac {x}{y-z^{-3}}}}$

Ցանկացած ռացիոնալ արտահայտություն կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ ֆունկցիայի տեսքով։

• Մեկ փոփոխականով ռացիոնալ ֆունկցիան կոչվում է ${\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ տեսքի ֆունկցիա, որտեղ ${\displaystyle P(x)}$-ը և ${\displaystyle Q(x)}$-ը մեկ փոփոխականով բազմանդամներ են։
• Ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիան ներկայացվում է ${\displaystyle {\frac {P(x)}{1}}}$ տեսքով, որտեղ ${\displaystyle x}$-ը փոփոխականն է։
• Կոտորակառացիոնալ ֆունկցիա է կոչվում այն իրական պարամոտրերով ռացիոնալ ֆունկցիա, որի պարամետրերը չեն հանդիսանում ռացիոնալ թվեր։
  • Երկու գծային ֆունկցիաների հարաբերությունը կոչվում է կոտորակագծային ֆունկցիա^[1]։

• Ցանկացած արտահայտություն, որը ստացվում է ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ փոփոխականների և թվաբանական չորս նշանների կիրառմամբ ստանում ենք ռացիոնալ ֆունկցիա։
• Ռացիոնալ ֆունկցիաների բազմությունը հանրահաշվական գործողությունների և համադրման օպերատորի նկատմամբ փակ է, ինչպես նաև դաշտ է այն դեպքում, եթե բազմանդամի գործակիցները պատկանում են ինչ-որ դաշտ։
• Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող ենք ներկայացնել սովորական կոտորակների գումարի տեսքով, այն կիրառվում է ինտեգրման մեջ։

Գոյություն ունեն կանոնավոր և անկանոն ռացիոնալ կոտորակներ, սովորական կոտորակների նման։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է կանոնավոր, եթե համարիչի կարգը փոքր է հայտարարինից և կոչվում է կանոնավոր և անկանոն՝ եթե համարիչինը մեծ է հայտարարինից։ Ցանկացած անկանոն կոտորակ կարող է ներկայացվել ամբողջ թվի և կանոնավոր կոտորակի գումարի տեսքով։

${\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P'_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{''}(x)}{Q_{m}(x)}}}$

Ցանկացած իրական գործակիցներով ռացիոնալ կոտորակ կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ կոտորակների գումարի տեսքով, որոնց հայտարարը հանդիսանում է ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ -ն ${\displaystyle (a}$-ն  ${\displaystyle Q(x))}$-ի իրական արմատն է կամ ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}$-ն (որտեղ ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ չունի իրական արմատներ), ընդ որում ${\displaystyle k}$-ի աստիճանը մեծ չէ ${\displaystyle Q(x)}$ բազմանդամի համապատասխան բազմապատիկ արմատի աստիճանից։ Այս պնդման հիման վրա է ապացուցվում ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրելիության մասին թեորեմը։ Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող է ինտեգրվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս թեորեմի միջոցով ռացիոնալ ֆունկցիաների դասը մաթեմատիկական անալիզի մեջ դառնում է նշանակալից։

Այս ամենի հետ է կապված Օստրոգրադսկու մեթոդը, որը 1844 թվականին առաջարկել է մաթեմատոկոս Միխայիլ Օստրոգրադսկին^[2]։

• Ռացիոնալ թիվ
• Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ