Կոտանգենսների թեորեմ

Կոտանգենսների թեորեմը, եռանկյունաչափական թեորեմ է, որը կապ է հաստատում եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավղի և եռանկյան կողմերի երկարությունների միջև։

Դիցուք

${\displaystyle a,b,c}$-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են,

${\displaystyle A,B,C}$-ը՝ համապատասխանաբար ${\displaystyle a,b,c}$ կողմերի դիմացի անկյունները,

${\displaystyle r}$-ը՝ եռանկյանը ներգծված շրջանագծի շառավիղ

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$-ը՝ եռանկյան կիսապարագիծը։

Այդ դեպքում տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը^[1]՝

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}$,

կամ դրանց համարժեք՝

${\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}$:

Թեորեմը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. կիսանկյան կոտանգենսը հավասար է կիսապարագծի և տրված անկյան դիմացի կողմի տարբերության հարաբերությանը ներգծված շրջանագծի շառավղին։

Կոտանգենսներից թեորեմից ներգծված շրջանագծի շառավղի համար ստացվում է

${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}$։

Մյուս կողմից, քանի որ եռանկյան մակերեսը՝ ${\displaystyle S=pr}$, ապա կարելի է ստանալ Հերոնի բանաձևը՝

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}$

• Սինուսների թեորեմ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոնի բանաձև
• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ