Kugla

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili jednaka polumjeru r. Omeđena je sferom polumjera r, tj. skupom točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka r. Među svim tijelima danog obujma kugla ima najmanje oplošje.

Izraz za obujam kugle izveo je još Arhimed koji je pokazao da je obujam kugle jednak 2/3 obujma kugli opisanog valjka, a sukladno kasnije formuliranom Cavalierievom pravilu. U suvremenoj matematici izraz za obujam kugle se izvodi posredstvom integralnog računa.

Postavimo kuglu polumjera r u središte x, y, z koordinatnog sustava tako da os x bude smještena vodoravno, a os y okomito. Tako postavljenu kuglu možemo podijeliti na vrlo velik broj diskova koji će stajati paralelno u odnosu na ravninu koju određuju osi y i z. Polumjer svakog diska određen je koordinatom y, gdje će y poprimati vrijednosti od y=0 do y=r i natrag do y=0. Obujam svakog diska jednak je približno umnošku površine diska i debljine diska:

${\displaystyle \!\bigtriangleup V\approx \pi y^{2}\cdot \bigtriangleup x}$

za neki dati x. Kako raste broj podjela tako

${\displaystyle \bigtriangleup x\longrightarrow 0}$

i možemo provesti sve točniju sumaciju svih diskova kugle te je:

${\displaystyle \!V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \bigtriangleup x}$

Kako broj diskova teži u beskonačnost tako i debljina diskova teži k nuli. U tom procesu je očito na kraju debljina svakog diska beskonačno mala te možemo provesti integraciju:

${\displaystyle \!V=\int _{x=-r}^{x=r}\pi y^{2}dx.}$

Iz presjeka kugle duž ravnine x/y slijedi da je:

${\displaystyle \!r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

te se integral može prikazati i na ovaj način:

${\displaystyle \!V=\int _{x=-r}^{x=r}\pi (r^{2}-x^{2})dx.}$

odakle redom slijedi:

${\displaystyle \!V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{x=-r}^{x=r}}$

${\displaystyle \!V=\pi \left(r^{3}+r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)}$

te je konačno obujam kugle:

${\displaystyle {\mathit {V}}={\frac {4}{3}}{\mathit {r}}^{3}\pi }$

Podijelimo li kuglu na velik broj koncentričnih sferastih ljuski površine O i debljine:

${\displaystyle \bigtriangleup x}$

te pustimo li da:

${\displaystyle \bigtriangleup x\longrightarrow 0}$

možemo provesti integraciju:

${\displaystyle \!\int _{x=0}^{r=R}O(r)dr}$

gdje je rezultat integracije obujam kugle, odnosno:

${\displaystyle \int _{x=0}^{x=r}O(x)dx=\!V={\frac {4}{3}}{\mathit {r}}^{3}\pi }$.

Diferencirajući ovu jednadžbu nalazimo da je za r=R:

${\displaystyle O(R)={\frac {4}{3}}3{\mathit {R}}^{2}\pi }$

odakle slijedi da je oplošje kugle jednako:

${\displaystyle O=4{\mathit {r}}^{2}\pi \,\!}$

Općenita jednadžba kugle sa središtem u točki S(a, b, c) određena je jednakosti:

${\textstyle {\mathit {(x-a)}}^{2}+{\mathit {(y-b)}}^{2}+{\mathit {(z-c)}}^{2}{\mathit {\leq r^{2}}}}$

Kuglin isječak je geometrijsko tijelo nastalo rotacijom kružnog isječka oko osi rotacije, promjera. Obujam kuglinog isječka za polumjer kugle r je:

${\displaystyle V=\pi \cdot h^{2}\cdot (r-h/3)}$

Kuglin odsječak (kalota) je geometrijsko tijelo, tj. dio kugle nastao presjecanjem kugle i ravnine. Površina kuglinog odsječka (kalote) za polumjer kugle r i visine kalote h je:

${\displaystyle P=2\cdot \ r\cdot \pi \cdot h}$

Obujam kuglinog odsječka, ako je kugla polumjera r i visine odsječka h :

${\displaystyle V={\frac {\pi \cdot h^{2}}{3}}\cdot (3r-h)}$