बर्नूली संख्या

• '''''भिन्नों की एक श्रेणी को बर्नौली संख्याएँ' (Bernoulli number) दिया जाता है, जैसे 1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66.....आदि। जेकब बर्नौली (Jacob Bernoulli) ने इस श्रेणी का प्रतिपादन किया था तथा उन्होंने इसका उपयोग प्रथम (x) पूर्णांकों के (n) घातों का योग निकालने के लिए किया। इन्हें B₀, B₁, B₂, B₃ आदि से निरूपित किया जाता है।

संख्या सिद्धान्त से इन संख्याओं का निकट सम्बन्ध है। इस संख्याओं का उपयोग संख्याओं के सिद्धांत, अंतरकलन तथा निश्चित समाकलों के सिद्धांत से संबंधित गणितीय निर्धारणों में किया जाता है। tan x तथा tanh x के टेलर श्रेणी प्रसार में ये संख्याएँ आतीं हैं।

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},}$

जहाँ (m + 1k) द्विपद गुणांक हैं।

उदाहरण,

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right)={\frac {n(n-1)}{2}}}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}\left(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1}\right)={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right)={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}}$

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}=({\frac {n(n-1)}{2}})^{2}}$

आर्यभट ने अपने आर्यभटीय के निम्नलिखित श्लोक के प्रथम भाग में प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का तथा तथा द्वितीय भाग में घनों के योग का सूत्र दिया है।^[1]

स-एक-स-गच्छ-पदानाम् क्रमात् त्रि-संवर्गितस्य षष्ठस् अंशस्।

वर्ग-चिति-घनस् सस् भवेत् चिति-वर्गस् घन-चिति-घनस् च ॥

(अंग्रेजी अनुवाद) : The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the (original) series is the sum of the cubes. (Katz, 217)

• The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg
• The first 10,000 Bernoulli numbers
• A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
• The Bernoulli Number Page
• Bernoulli number programs at LiteratePrograms
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Bernoulli Number
• The Computation of Irregular Primes
• Bernoullinumbers in context of Pascal-(Binomial)matrix german version^{[मृत कड़ियाँ]}
• summing of like powers in context with Pascal-/Bernoulli-matrix
• Some special properties, sums of Bernoulli-and related numbers