תורת כיול

תורת כיול (באנגלית: Gauge theory) היא ענף בתורת שדות קוונטית, שבעזרתו ניתן לתאר ולהראות בצורה מתמטית מהיכן נובעים שלושה מתוך ארבעת הכוחות היסודיים הידועים בטבע.

אחת ממטרות הפיזיקה היא הניסיון לפתח תאוריה של הכל, תאוריה פיזיקלית אחת שתתאר ותאחד את כל תופעות הטבע בעזרת מספר מצומצם של גדלים יסודיים. התורה הפיזיקלית המתקדמת ביותר הקיימת כיום אשר מתקרבת צעד נוסף לחזון זה ושאוששה בניסויים היא תורת השדות הקוונטית. תורה זו מצליחה לאחד את תורת הקוונטים עם תורת היחסות הפרטית, מצליחה לתאר את החלקיקים השונים בטבע ולאחד שלושה מתוך ארבעת הכוחות היסודיים בטבע. המושג הבסיסי בתורת השדות הקוונטית אינו חומר, אנרגיה או כוח אלא שדה. ישנם שדות שיוצרים את חלקיקי החומר ושדות שיוצרים את הכוחות היסודיים בטבע.

בעזרת תורת כיול ניתן להראות ששדות רוב הכוחות היסודיים בטבע נובעים מתוך שדות החומר, כך ששדות החומר הם גדלים יסודיים יותר משדות כוח אלה. בנוסף, בפיזיקה המודרנית יש חשיבות רבה לסימטריות. כאשר יש מספר חלקים סימטריים זה לזה, הכוונה היא שאי אפשר להבדיל ביניהם. מתוך משפט נתר מתברר שסימטריות הן מקור לחוקי שימור. לדוגמה, חוק שימור התנע נובע מתוך סימטריה מרחבית - כאשר אין הבדל בין כל כיוון בו אפשר לנוע (בשום כיוון אין כוחות שמפריעים בדרך) התוצאה היא שבכל כיוון התנע נשמר (אין שום כוח שיגרום לו להשתנות).

לפי תורת השדות הקוונטית, השדה נמצא בתחום מסוים של המרחב והזמן וכופה באזור זה סימטריה מסוימת שיוצרת גדלים נשמרים כמו מסה, מטען חשמלי, תנע וכדומה (במילים אחרות השדה יוצר חלקיקים בעלי הגדלים הנשמרים הללו). לכן כדי להסביר את החלקיקים והכוחות השונים בתורת השדות הקוונטית השדות צריכים לקיים סימטריות שונות, בייחוד נחפש מתי האנרגיה של השדה (שמבוטאת מבחינה מתמטית בעזרת לגראנז'יאן) תישאר סימטרית. זאת אומרת אילו פעולות אפשר לעשות על השדה ובכל זאת האנרגיה לא תשתנה. כך אפשר למצוא את משוואות התנועה שמתארות את התנהגות החלקיקים השונים הנוצרים בשדה. בנוסף, פיזיקאים גילו שאפשר להגיע (כמעט) לכל הכוחות היסודיים בטבע בעזרת שבירה מסוימת של סימטריות האנרגיה הללו. אם מתחילים מסימטריה מסוימת ומעוותים אותה מעט, כך שעדיין יש סימטריה אבל חלקית, מופיע כוח שמנסה להחזיר את הסימטריה המושלמת המקורית. כוח זה יהיה בדיוק אחד הכוחות היסודיים בטבע. לת��ליך זה קוראים תורת כיול או סימטריית כיול וכך מקבלים את רוב הכוחות הידועים בפיזיקה מתוך תורת השדות הקוונטית. הרעיון של תורת הכיול מבוסס על עיוות הסימטריה כך שבכל נקודה ונקודה הסימטריה מעט שונה. התלות הזו של הסימטריה במיקום ובזמן מעוותת אותה.

ניתן להדגים את העיקרון המתמטי מאחורי תורות כיול בעזרת התמונה של המראה המעוותת. בתמונה ניתן לראות קיר מלא שעונים דרך מראה רגילה ומראה מעוקמת. כתוצאה מהמראה המעוותת, כל השעונים שיש להם סימטריה עגולה יפה (תמונה שמאלית) נראים לא עגולים ולא סימטריים יותר (תמונה אמצעית). הסימטריה המקורית של השעונים התעוותה, כל העיגולים נראים מרוחים. העיוות נוצר בגלל המראה העקומה, צורת השעון המשתקפת תלויה בעיוות המראה ששונה בכל נקודה ונקודה של המראה, ולכן כל נקודה מורחת ומזיזה את דמות השעון בצורה אחרת. זאת אומרת שהסימטריה של צורת השעון נשברה כי היא תלויה בעיוות שיש בכל נקודה במראה. באותו אופן, אפשר לעוות את הסימטריה של אנרגיית השדות כך שהיא תלויה בכל נקודה ונקודה במרחב ובזמן ואז כדי להחזיר חזרה את הסימטריה המקורית (כמו בתמונה הימנית) צריך להוסיף שדה חדש (שיוצר חלקיקים חדשים) הנקרא שדה כיול ושדה זה מתאים לאחד משלושת השדות של הכוחות היסודיים בטבע, הכוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החזק והכוח הגרעיני החלש. יש סימטריה מתאימה לכל אחד מהכוחות הללו (נקראת סימטריה גלובלית) שנותנת, לפי משפט נתר, מטען נשמר. כאשר מעוותים את הסימטריה הזו על ידי תלות במקום ובזמן מקבלים את שדה הכוח ואת חלקיקי הכוח המתאימים המנסים להחזיר את הסימטריה למצבה המלא. לשיטה הזו קוראים סימטריית כיול (אנו מכיילים מחדש את הסימטריה שעוותה ומקבלים שדה כוח). במקרה של הכוח האלקטרומגנטי, מתחילים מסימטריה גלובלית ששומרת על האנרגיה של השדה ומוסיפה לשדה מטען חשמלי קבוע ונשמר. בעקבות עיוות של הסימטריה הזו מכיילים על ידי הוספת שדה אלקטרומגנטי (עושה את הכוח האלקטרומגנטי) אשר מחזיר את הסימטריה כך שהאנרגיה נשמרת למרות העיוות. לסיכום, התחלנו משדה חומר, קיבלנו ע�� ידי סימטריה את המטען החשמלי וע"י עיוות סימטריית המטען החשמלי וכיול קיבלנו את שדה הכוח האלקטרומגנטי המתאים למטען החשמלי. בצורה דומה, על ידי סימטריות שונות, ניתן לקבל את שדה הכוח הגרעיני החזק ושדה הכוח הגרעיני החלש מתוך שדות חומר בעלי הסימטריה המתאימה. כוח הכבידה (המתואר בעזרת תורת היחסות הכללית) הוא הכוח היחיד שאי אפשר לקבל מתוך שדות בעזרת תורות הכיול שיש בידינו כיום.

רעיון הכיול הגיע מתוך התיאור הקלאסי של שדה אלקטרומגנטי. שם, השדה המגנטי ${\displaystyle {\vec {B}}}$ מקיים את הנוסחה:

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

כאשר ${\displaystyle {\vec {A}}}$ הוא הפוטנציאל הווקטורי.

הפוטנציאל הווקטורי של שדה מגנטי נתון אינו נקבע באופן יחיד. אם ${\displaystyle {\vec {A}}}$ הוא פוטנציאל וקטורי לשדה ${\displaystyle {\vec {B}}}$ אזי גם ${\displaystyle {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\psi }$ (עבור כל שדה סקלרי ${\displaystyle \ \psi }$) הוא פוטנציאל וקטורי הקובע את אותו השדה ${\displaystyle {\vec {B}}}$ (כיוון ש ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\psi =0}$).

תכונה זו קרויה חופש כיול. חופש הכיול מאפשר לבחור את הפוטנציאל הווקטורי באופן בו יהיה נוח להשתמש בו.

קיימות מספר בחירות מקובלות לכיול הפוטנציאל הווקטורי, ביניהן:

• כיול קולון - בכיול זה בוחרים את ${\displaystyle {\vec {A}}}$ כך שיקיים ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}$.

במקרה זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים את משוואת פואסון ${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}$ (כאשר ${\displaystyle {\vec {J}}}$ צפיפות הזרם, C מהירות האור), שפתרונה: ${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {{\vec {J}}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}d^{3}r'}$

• כיול לורנץ - כיול זה שימושי בבעיות דינמיות. בכיול זה בוחרים את הפוטנציאלים הווקטורי והסקלרי כך שיתקיים ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ (כאשר ${\displaystyle \ \phi }$ פוטנציאל החשמלי). בכיול זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים משוואת גלים מן הצורה:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}$

כך ניתן לכייל את הפוטנציאל הווקטורי תוך שמירה על אותו שדה מגנטי. מכאן שהשדה המגנטי נשאר קבוע תחת טרנספורמציית כיול ומשוואות מקסוול (המתארות את השדות המגנטיים והחשמליים) לא משתנות ולכן סימטריות תחת טרנספורמציית הכיול.

תורת השדות הקוונטית משתמשת ברעיון הכיול כדי להחזיר סימטריה שעוותה עקב טרנספורמציות לוקליות (תלויות במיקום ובזמן).

בתורת השדות, אנרגיית השדה מבוטאת בעזרת הלגראנז'יאן. סימטריה גלובלית ששומרת על האנרגיה של השדה תתבטא בפעולות (טרנספורמציות) שניתן לעשות על הלגראנז'יאן ובכל זאת צורתו לא תשתנה. אנו רוצים שגם פעולות לוקליות התלויות במקום ובזמן ישאירו את הלגרנז'יאן סימטרי. זאת אנו משיגים על ידי סימטריית הכיול. תיאור מתמטי של סימטריות נעשה בעזרת תורת החבורות. בתורת כיול הלגראנז'יאן סימטרי תחת טרנספורמציית כיול, שהיא חבורה של פעולות, המשנות את השדות בתורה, ותלויות במיקום במרחב. לעומתה סימטריה גלובלית היא סימטריה שאינה תלויה במיקום. נאמר שהלגרנז'יאן של תורת כיול הוא בעל סימטריית כיול, והפעולות בטרנספורמציה הן ה"יוצרים" של אלגברת לי, שמרכיבים חבורת לי.

שדה כיול הוא שדה שמקיים משוואות של תורת כיול. מתוך הדרישה שהתורה תהיה סימטרית לכיול, כלומר הלגראנז'יאן לא ישתנה תחת הפעלה של סימטרית הכיול, נדרשים להוסיף גודל חדש שהוא שדה הכיול. בתורת כיול קוונטית, שדה הכיול יוצר חלקיק יסודי, הקרוי בוזון כיול, והוא נקרא גם ה"נושא" של הכוח שמתאים לאותה סימטריית כיול. כוחות היסוד בטבע (מלבד כוח הכבידה) מתוארים על ידי שדות כיול: אלקטרומגנטיות, הכוח הגרעיני החלש, הכוח הגרעיני החזק.

מלבד כוחות יסוד, תורת כיול משמשת גם לתיאור מקורב של מערכות וכוחות מורכבים, לדוגמה: פיזיקה של מוליך-על, פיזיקה של חומר מעובה, פיזיקת חלקיקים (כתיאור מקורב של תגובות בין חלקיקים מורכבים).

אלקטרודינמיקה קוונטית - תורת הכיול שמתארת את הכוח האלקטרומגנטי. סימטריית הכיול שלה היא ${\displaystyle \ U(1)}$, היוצרת את הפוטון שהוא בוזון הכיול בתורה ונשא הכוח האלקטרומגנטי.

הכוח האלקטרו-חלש - תורת כיול עם סימטריה ${\displaystyle \ SU(2)\times U(1)}$, המאחדת את הכוח האלקטרומגנטי עם הכוח הגרעיני החלש, ומתפרקת במנגנון היגס לכוח האלקטרומגנטי שתואר ולשלושה בוזוני W ו-Z בעלי מסה, נושאי הכח החלש שאינו סימטריה אלא תוצר פירוק של סימטריה.

כרומודינמיקה קוונטית - התורה המתארת את הכוח הגרעיני החזק, שנושא הגלואון. סימטריית הכיול שלה היא ${\displaystyle \ SU(3)}$

נכתוב את הלגרנז'יאן של פרמיון טעון חשמלית (כמו אלקטרון לדוגמה) ביחידות טבעיות:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi }$

נראה שהלגרנז'יאן סימטרי תחת טרנספורמציה גלובלית ${\displaystyle U(1)}$, שבה ${\displaystyle \theta }$ אינה תלויה במיקום:

${\displaystyle \psi \rightarrow \psi '=e^{i\theta }\psi }$,

נציב את הטרנספורמציה בלגרנג'יאן המקורי(L) ונראה שהוא לא משתנה:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}'={\bar {\psi }}e^{-i\theta }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)e^{i\theta }\psi ={\mathcal {L}}}$.

הוכחנו שהלגרנג'יאן סימטרי לטרנספורמציה זו. בעזרת משפט נתר ניתן להראות שסימטריה גלובלית זו נותנת את המטען החשמלי.

לעומת זאת אם הטרנספורמציה תלויה במיקום (X),

${\displaystyle \psi \rightarrow \psi '=e^{i\phi (x)}\psi }$

אזי הלגרנ'יאן משתנה ואינו בעל סימטריה לוקאלית:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}'={\bar {\psi }}e^{-i\phi (x)}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)e^{i\phi (x)}\psi ={\bar {\psi }}e^{-i\phi }e^{i\phi }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\phi -m)\psi \neq {\mathcal {L}}}$.

ניתן להפוך את הלגרנ'יאן לסימטרי באמצעות הפיכת הנגזרת לנגזרת קווריאנטית (הוספת איברים לנגזרת כך שפעילות הנגזרת תהיה נכונה בתנאים שונים):

${\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }}$.

(כאן e אינו הקבוע המתמטי e אלא המטען החשמלי של האלקטרון)

הנגזרת הקווריאנטית מכילה שדה כיול, השדה האלקטרומגנטי ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$, שמוגדר כאן כשדה נוסף שהוא בעל הטרנספורמציה המדויקת שהופכת את הלגרנז'יאן לסימטרי:

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A_{\mu }'(x)=A_{\mu }+\partial _{\mu }\phi }$

כעת הלגראנז'יאן נכתב:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi }$

וכאשר נפעיל את הטרנספורמציה הלוקאלית, נראה שהלגרנג'יאן אכן סימטרי תחתיה. הסימטריה חזרה בזכות שדה הכיול של הכוח האלקטרומגנטי. כך נוסף השדה האלקטרומגנטי ללגרנג'יאן כדי להחזיר את סימטריית המטען החשמלי שעוותה.

בעזרת תורת כיול ניתן לקבל בצורה מתמטית את שדה הכוח האלקטרומגנטי, שדה הכוח הגרעיני החזק ושדה הכוח הגרעיני החלש מתוך שדות חומר בעלי סימטריה מתאימה. הכוח היסודי הרביעי המוכר כיום - כוח הכבידה, המתואר בעזרת תורת היחסות הכללית, הוא הכוח היחיד שאי אפשר לקבל בעזרת תורת הכיול שיש בידינו כיום. כאשר מנסים להפעיל את תורת הכיול על שדות גרביטציה מקבלים פתרונות מתבדרים לאינסוף שאינם ניתנים לסילוק ולכן אינם מייצגים נכונה את כוח הכובד (שאינו אינסופי). השאלה כיצד לתאר בעזרת תורת השדות הקוונטית ותורת כיול את כוח הכבידה היא אחת מהבעיות המרכזיות כיום בתחום זה. תורת המיתרים היא דוגמה לתאוריה המנסה לפתור בעיה זו בעזרת גישה שונה מהגישה שתוארה כאן, אך עדיין איננו יודעים האם גישה זו נכונה.

• תורת השדות הקוונטית
• בוזון כיול
• בוזון היגס
• תורת יאנג-מילס

• חופשי ומאושר - בלוג של ניר להב באתר תפוז, שדות היגס לנצח - בחיפוש אחר הסימטריה האלוהית, הסבר על תורת השדות הקוונטית, תורות כיול וחלקיק ההיגס
• תורת כיול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)