קירוב WKB

בפיזיקה מתמטית, קירוב WKB או שיטת WKB היא שיטת קירוב ליניארי לצורך מציאת פתרונות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות עם מקדמים המשתנים במרחב. בדרך כלל, נעשה שימוש בשיטה זו עבור חישוב סמי-קלאסי במכניקה קוונטית, שבו פונקציית הגל מתנהגת כפונקציה אקספוננטציאלית, המתפשטת סמי-קלאסית במרחב ואשר או המשרעת או הפאזה של פונקציה זו משתנים באופן איטי.

מקור השם WKB הוא בראשי תיבות של המדענים ונצל-קרמרס-ברילואן (Wentzel–Kramers–Brillouin). קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב ליוביל-גרין (Liouville–Green). לעיתים הוא נקרא  JWKB או WKBJ כאשר ה-J מתייחסת לג'פרי (Jeffreys).

קירוב WKB קרוי על שם הפיזיקאים: גרגור ונצל, הנס קרמרס ולאון ברילואן (Wentzel–Kramers–Brillouin), אשר פיתחו אותה בשנת 1926.

בשנת 1923, פיתח המתמטיקאי הבריטי הרולד ג'פרי שיטה כללית של קירוב לפתרונות משוואות ליניאריות דיפרנציאליות מסדר שני. שנתיים מאוחר יותר פותחה משוואת שרדינגר וונצל, קרמרס, וברילואן שלא היו מודעים לעבודה המוקדמת של ג'פרי, פיתחו קירוב ליניארי כללי שניתן ליישמו כפתרון למשוואת שרדינגר.^[1]

מקורות מוקדמים יותר לשיטה ניתן למצוא בעבודתם של : קרליני (1817), ליוביל (1837), גרין 1837, ריילי (1912) וגנז בשנת 1915. יש הסבורים כי ניתן לזהות את ז'וזף ליוביל וג'ורג' גרין כאבות השיטה ולכן קירוב זה ידוע גם כקירוב LG או קירוב ליוביל-גרין (Liouville–Green).^[2]

תרומתם של ונצל, קרמרס, וברילואן לשיטה הייתה הכללת הטיפול של נקודות מפנה (אנ'), על ידי "תפירת" הפתרונות התנודתיים והזמניים (אנ') משני צדי נקודת המפנה. לדוגמה, פתרון משוואת שרדינגר עם גבעת אנרגיה פוטנציאלית (אזור סביב מקסימום מקומי של אנרגיה פוטנציאלית).

באופן כללי, תאוריית WKB היא שיטה למציאת קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות אשר נגזרתה הגבוהה ביותר מוכפלת בפרמטר קטן, ${\displaystyle \epsilon }$:

$${\displaystyle \epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0~\quad (1)}$$

מניחים פתרון בצורת הרחבה לטור אסימפטוטי:

$${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (2)}$$

בגבול שבו ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$.

מניחים משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שני כגון:

$${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\quad (3)}$$

כאשר ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$.

מציבים:

$${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\quad (4)}$$

ומקבלים:

${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\quad (5)}$

עבור הסדר המוביל, אפשר לקרב את משוואה ${\displaystyle \quad (5)}$ :

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x)\quad (6)}$

בגבול שבו ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$, האיבר הדומיננטי ניתן על ידי:

$${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\quad (7)}$$

כך ש-${\displaystyle \delta }$ פרופורציונלי ל-${\displaystyle \epsilon }$.

הצבת 2 גדלים אלו כשווים והשוואת החזקות של ${\displaystyle \epsilon }$ ב"סדר 0" מניבה:

$${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x)\quad (8)}$$

המוכרת כמשוואה איקונלית (אנ') עם הפתרון:

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\quad (9)}$

השוואת החזקות של ${\displaystyle \epsilon }$ בסדר הראשון קובעת:

$${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\quad (10)}$$

המוכרת כמשוואת מעבר (אנ') עם הפתרון:

$${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1}\quad (11)}$$

כאשר ${\displaystyle k_{1}}$ הוא קבוע שרירותי.

מאחר ש-${\displaystyle S_{0}}$ יכול להיות הן חיובי והן שלילי, קירוב WKB של ${\displaystyle \quad (3)}$ בסדר ראשון יהיה צירוף ליניארי של זוג פתרונות כדלהלן:

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\quad (12)}$

ניתן לקבל פתרונות לסדרים גבוהים יותר ${\displaystyle (n\geq 2)}$ על ידי חישוב דומה של:

${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\quad (13)}$

משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן במימד אחד היא:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)\quad (14)}$

ניתן לכתוב משוואה זו בצורה אחרת:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\quad (15)}$

פונקציית הגל ניתנת להגדרה על ידי אקספוננט של פונקציה אחרת, ${\displaystyle \Phi }$ (המשויכת לפעולה), אשר יכולה להיות גם פונקציה מרוכבת:

$${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}~\quad (16)}$$

כך ש:

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\quad (17)}$

כאשר ${\displaystyle \Phi '}$ היא הנגזרת של ${\displaystyle \Phi }$ לפי ${\displaystyle x}$.

הנגזרת ${\displaystyle \Phi '}$, יכולה להתפצל לחלק ממשי ולחלק מדומה הכוללים את הפונקציות הממשיות ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)~\quad (18)}$

ואז משרעת פונקציית הגל היא ${\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!~}$ ואילו הפאזה היא: ${\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'\,\!~}$.

משוואת שרדינגר מתחלקת ל-2 משוואות: אחת עבור החלק הממשי ${\displaystyle \quad (19)}$ ואחת עבור החלק הדמיוני ${\displaystyle \quad (20)}$ כדלהלן:

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)~\quad (19)}$

$${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0~\quad (20)}$$

לאחר מכן, משתמשים בקירוב הסמי-קלאסי, קירוב WKB. משמעות הדבר היא כי כל פונקציה מפותחת כטור חזקות של קבוע פלאנק המצומצם, ${\displaystyle \hbar }$. מתוך המשוואות לעיל, ניתן לראות כי טור החזקות חייב להתחיל עם סדר של ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}}$ כדי להתאים לחלק הממשי של המשוואה.

על מנת להשיג גבול קלאסי טוב, יש צורך להתחיל עם חזקה גבוהה של קבוע פלאנק המצומצם, ${\displaystyle \hbar }$ ככל האפשר:

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)~\quad (21)}$

$${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)~\quad (22)}$$

עבור "סדר 0" ניתן להביע את ${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ כך:

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\quad (23)}$

$${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;\quad (24)}$$

הנגזרות הראשונות ${\displaystyle A'(x)}$ ו-${\displaystyle B'(x)}$ נמחקו מאחר שהן כוללות פקטורים מסדר גודל של ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}}$ הגבוה יחסית לסדר הדומיננטי ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$.

מצד אחד, אם המשרעת משתנה לאט יחסית בהשוואה לפאזה ${\displaystyle (A_{0}(x)=0)}$, אזי מקבלים:

$${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\quad (24)}$$

המשוואה שלעיל, ${\displaystyle \quad (24)}$, תקפה רק כאשר האנרגיה הכללית גדולה יותר מהאנרגיה הפוטנציאלית ${\displaystyle (E>V(x))}$, כפי שקורה תמיד בתנועה קלאסית.

אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:

$${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}~\quad (25)}$$

מצד שני, אם הפאזה משתנה לאט יחסית בהשוואה למשרעת ${\displaystyle (B_{0}(x)=0)}$, אזי מקבלים:

$${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\quad (26)}$$

המשוואה שלעיל, ${\displaystyle \quad (26)}$, תקפה רק כאשר האנרגיה הפוטנציאלית גדולה יותר מהאנרגיה הכללית ${\displaystyle (E<V(x))}$, כפי שקורה תמיד במנהור קוונטי.

אחרי ביצוע תהליך דומה לסדר הבא בפיתוח לטור חזקות, כמקודם, מקבלים כפתרון למשוואת שרדינגר את פונקציית הגל:

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}~\quad (27)}$

2 הפתרונות המקורבים למשוואת שרדינגר, הן ${\displaystyle \quad (25)}$ והן ${\displaystyle \quad (27)}$, נעשים סינגולריים בנקודת המפנה או נקודת ה"תפר", כאשר ${\displaystyle E=V(x)}$ ולכן אינם תקפים בנקודה זו.

תקפות הקירובים היא מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל. מעל גבעת הפוטנציאל החלקיק מתנהג כגל חופשי - פונקציית הגל אוסצילטורית. מתחת גבעת הפוטנציאל החלקיק עובר שינויים אקספוננטציאלים במשרעת.

על מנת להבטיח את הגלובליות של קירוב WKB עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל נדרש למצוא פתרון מקורב בנקודות המפנה שבהן ${\displaystyle E=V(x)}$. הדבר נעשה בדרך הבאה:

עבור נקודת המפנה הקלאסית, ${\displaystyle x_{1}}$ וקרוב ל- ${\displaystyle E=V(x_{1})}$, הביטוי ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ ניתן לפיתוח כטור חזקות:

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;\quad (28)}$

עבור הסדר הראשון מתקבל:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x)\quad (29)}$

משוואה דיפרנציאלית זו ידועה כמשוואת איירי וניתן להביע את פתרונה במונחים של פונקציית איירי:

$${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\quad (30)}$$

"תפירת" פתרון זה עם 2 הפתרונות המקורבים מעל ומתחת גבעת הפוטנציאל נעשית על ידי מציאת היחס בין המקדמים השונים, ${\displaystyle C_{0},\theta }$ ו-${\displaystyle C_{+},C_{-}}$. מאחר שפונקציות איירי בגבול האסימפטוטי, הופכות לפונקציות אקספוננטציאליות כגון: סינוס וקוסינוס, ניתן להביע את היחס בין המקדמים השונים דרך "פונקציות הקשר":

${\displaystyle C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad (31)}$

$${\displaystyle C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad (32)}$$

לסיכום, מתקבל פתרון מקורב גלובלי עבור משוואת שרדינגר הכוללת גבעת פוטנציאל.

• תורת ההפרעות
• מקדם העברה
• מנהור קוונטי