קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

נניח כי C היא קטגוריה וכי ${\displaystyle \,\{X_{j}|j\in I\}}$ היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה ${\displaystyle \,\{X_{i}\}}$ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים ${\displaystyle \,i_{j}:X_{j}\to X}$ (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים ${\displaystyle \,f_{j}:X_{j}\to Y}$ קיים מורפיזם יחיד ${\displaystyle \,f:X\to Y}$ כך שלכל ${\displaystyle \,j\in I}$ מתקיים ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}}$. במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה ${\displaystyle {}_{\{X_{j}\}}C=\left\{(Z,\{g_{j}:X_{j}\to Z\})\ |\ \forall i:X,X_{j}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g_{j}\in \mathrm {Mor} (Z,X_{j})\right\}}$ עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב${\displaystyle \,X_{1}\coprod X_{2}}$, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f₁ ∐ f₂ או f₁ ⊕ f₂ או f₁ + f₂ או [f₁, f₂].

באופן כללי, הקו-מכפלה של ${\displaystyle \,\{X_{j}|j\in I\}}$ מסומנת

${\displaystyle X=\coprod _{j\in I}X_{j}}$

ולעיתים

${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in I}X_{j}}$.

• בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים ${\displaystyle i_{A}}$ ו-${\displaystyle i_{B}}$ הם פשוט ההכלות (כגון ${\displaystyle A\subset A\uplus B}$). בפרט, ${\displaystyle A\coprod B=A\uplus B}$, וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
• אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם ${\displaystyle A\cap B\neq \emptyset }$ לוקחים קבוצה ${\displaystyle B'}$ שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד ${\displaystyle A\uplus B'}$ עם שיכון ${\displaystyle i_{B'}\circ f}$ כאשר ${\displaystyle f:B\to B'}$ היא פונקציית שקילות של קבוצות.
• קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת ${\displaystyle G\oplus H}$.
• קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת ${\displaystyle V=\bigoplus _{j\in I}V_{j}}$ כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל ${\displaystyle j\in I}$ האיבר שבא מ-${\displaystyle V_{j}}$ שווה לאפס. למשל: ${\displaystyle v_{1}+v_{2}\in \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n}}$ אך ${\displaystyle 0+0+v_{3}+v_{4}+v_{5}+...=\sum _{n=3}^{\infty }v_{j}\notin \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n}}$.
• בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב ${\displaystyle A\otimes B}$ היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1\in A\otimes B}$ ו-${\displaystyle b\mapsto 1\otimes b\in A\otimes B}$.

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה ${\displaystyle \,\{X_{j}\}}$ קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם ${\displaystyle \,i_{j}:X_{j}\to X}$ ו-${\displaystyle \,i'_{j}:X_{j}\to X'}$ הן זוג מכפלות של המשפחה ${\displaystyle \,\{X_{j}\}}$ אז קיים איזומורפיזם יחיד ${\displaystyle \,f:X\to X'}$ כך ש ${\displaystyle i_{j}'=f\circ i_{j}}$.

• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
• גבול ישר (תורת הקטגוריות)
• פונקטור מיוצג
• אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

מדיה וקבצים בנושא קו-מכפלה בוויקישיתוף

• קו-מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)