פתרון באמצעות רדיקלים

פתרון באמצעות רדיקלים הוא פתרון כללי של משוואה פולינומית, שניתן להבעה כביצוע של מספר סופי של הפעולות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש ממעלה טבעית על מקדמי המשוואה (וקבועים מן השדה).

למשל, פתרון המשוואה הריבועית ${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$ שהוא ${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ הוא פתרון באמצעות רדיקלים.

פתרונות כלליים באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה ראשונה, משוואה ממעלה שלישית ומשוואה ממעלה רביעית ידועים גם הם. בשנת 1824 הוכיח נילס הנריק אבל כי אין פתרון כללי באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה. שנים ספורות לאחר מכן מצא אווריסט גלואה אפיון מלא של כל המשוואות הפולינומיות שניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים: אלו המשוואות שחבורת גלואה המתאימה להן היא חבורה פתירה. מחקרים אלו הולידו את תורת גלואה ואת תורת החבורות.

מקור השם פתרון באמצעות רדיקלים הוא מהמילה הלטינית Radix שפירושה שורש, המושג אומץ באנגלית (שורש באנגלית הוא root, אבל לפעמים לפעולת השורש ניתן לקרוא radical).

לפתרון משוואות פולינומיות באמצעות רדיקלים יש מינוח מקביל בתורת גלואה.

תהי ${\displaystyle E/F}$ הרחבת שדות. נאמר שהיא שורשית אם קיים ${\displaystyle a\in E}$ כך ש-${\displaystyle E=F[a]}$ וכן ${\displaystyle a^{n}\in F}$. נאמר שההרחבה בעלת מגדל שורשים אם קיים מגדל שדות ${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset ...\subset F_{n}=E}$ כך שכל הרחבה ${\displaystyle F_{i+1}/F_{i}}$ היא שורשית.

נאמר שפולינום ${\displaystyle f\in F[x]}$ הוא פתיר באמצעות רדיקלים אם קיים לו שורש כך ש-${\displaystyle E=F[a]}$ בעל מגדל שורשים.

המשפט המרכזי בנושא הוא:

משפט: פולינום ${\displaystyle f}$ הוא פתיר לפי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה של שדה הפיצול שלו פתירה.

בפרט, עבור מספר בר בנייה, נקבל:

משפט: איבר ${\displaystyle a}$ הוא בר בנייה אם ורק אם שדה הפיצול של הפולינום המינימלי שלו בעל מגדל ריבועים (כלומר, מגדל שורשים עם הרחבות מסדר 2 כל פעם), אם ורק אם חבורת גלואה שלו היא חבורת-2 (חבורה מסדר חזקת 2).

בפרט, נקבל כי ניתן לבנות מצולע משוכלל עם ${\displaystyle n}$ צלעות אם ורק אם ניתן לבנות את שורש היחידה ה-${\displaystyle n}$, אם ורק אם (לפי המשפט) ${\displaystyle \phi (n)}$ חזקת 2, כאשר ${\displaystyle \phi }$ פונקציית אוילר.

כעת, ניתן להציג את הפתרון לבעיית פתרון באמצעות רדיקלים לפולינום ממעלה כללית - עבור ${\displaystyle n\leq 4}$ חבורת גלואה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר ${\displaystyle 4}$, שהיא (וכל תת-חבורותיה) פתירות. לכן כל פולינום ממעלה 4 ומטה פתיר על ידי רדיקלים.

מאידך, לכל מעלה לפחות 5, ניתן תמיד למצוא פולינום עם חבורת גלואה ${\displaystyle S_{n}}$, ולכן היא לא תהיה פתירה על ידי רדיקלים. בפועל, אפשר למשל לקחת את הפולינום -${\displaystyle x^{n}-pqx+p}$, עבור ${\displaystyle n,p,q}$ ראשוניים. זהו פולינום אי פריק לפי קריטריון אייזנשטיין. יש לו שתי נקודות קיצון, ולכן אם בוחרים נכון את ${\displaystyle p,q}$ נקבל כי יהיו לו בדיוק 3 שורשים ממשיים, ולכן 2 מרוכבים, ולכן יהיו בחבורת גלואה חילוף; היות שיש בה גם מחזור מסדר ${\displaystyle n}$ (שכן הפולינום אי פריק, ולכן המעלה מחלקת את סדר החבורה), נקבל סה"כ כי בחבורה יש מחזור וחילוף - ולכן היא כל ${\displaystyle S_{n}}$.