פפירוס מוסקבה

הפפירוס המתמטי של מוסקבה, הנקרא גם הפפירוס המתמטי גולנישצ'ב על שם בעליו הלא-מצרי הראשון, האגיפטולוג ולדימיר גולנישצ'ב, הוא פפירוס מתמטי מצרי עתיק המכיל מספר בעיות באריתמטיקה, גאומטריה ואלגברה. גולנישצ'ב קנה את הפפירוס ב-1892 או ב-1893 בתבאי. מאוחר יותר הוא נכנס לאוסף המוזיאון הלאומי לאמנויות יפות פושקין במוסקבה, שם הוא נמצא כיום.

בהתבסס על הפלאוגרפיה והכתיב של הטקסט ההיראטי, הטקסט נכתב ככל הנראה בתקופת השושלת השלוש-עשרה (אנ') והתבסס על חומר ישן יותר, כנראה מתקופת השושלת השתים עשרה של מצרים, בערך מ-1850 לפני הספירה.^[1] אורכו כ-5.5 מטרים ורוחבו נע בין 3.8 ל-7.6 סנטימטרים, הכתוב בו חולק על ידי המזרחן הסובייטי וסילי ואסילביץ' שטרובה (אנ')^[2] ב-1930^[3] ל-25 בעיות עם פתרונות.

זהו פפירוס מתמטי נודע, ובדרך כלל מתייחסים אליו ביחד עם פפירוס רינד. הפפירוס המתמטי של מוסקבה ישן יותר מהפפירוס המתמטי של רינד, בעוד שהאחרון הוא הגדול מבין השניים.^[4]

הבעיות הכתובות בפפירוס מוסקבה לא עוקבות אחר סדר מסוים, ופתרונות לבעיות מספקים פירוט פחות מאלה שבפפירוס המתמטי של הרינד. הפפירוס ידוע בכמה מבעיות הגאומטריה שבו. בעיות 10 ו-14 מציגות חישוב שטח פנים ונפח של גוף קטום (אנ') בהתאמה. הבעיות האחרות שכיחות יותר בטבע.^[1]

בעיות 2 ו-3 הן בעיות רכיבי הספינה. אחת הבעיות מציגה חישוב למציאת היקף ההגה בספינה והשנייה מציגה חישוב למציאת אורך תורן הספינה בהתחשב בכך שהוא 1/3 + 1/5 מאורך בול עץ ארז במקור באורך 30 אמות.^[1]

אחע בכתב חרטומים

בעיות אחע כוללות מציאת כמויות לא ידועות (המכונה אחע, "מחסנית") אם ניתן סכום הכמות וחלק (ים) ממנה. הפפירוס המתמטי של רינד מכיל גם ארבע בעיות מסוג זה. בעיות 1, 19 ו-25 בפפירוס של מוסקבה הן בעיות אחע. לדוגמה, בעיה 19 מבקשת מאדם לחשב כמות שנלקחה פי 1+1⁄2 ונוספה ל-4 כדי ליצור 10.^[1] במילים אחרות, בסימון מתמטי מודרני מתבקשים לפתור את המשוואה:${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10\ }$

10 מתוך 25 הבעיות בפפירוס מוסקבה משתייכות לקטגוריה של בעיות פפסו (Pefsu). פפסו מודד את חוזק הבירה העשויה מהקאט של תבואה.

${\displaystyle {\mbox{וספפ}}={\frac {\mbox{(הריב ינקנק וא) םחל תורכיכ רפסמ}}{\mbox{האובת טאקה רפסמ}}}}$

מספר פפסו גבוה יותר פירושו לחם או בירה חלשים יותר. מספר הפפסו מוזכר ברשימות הצעות רבות. לדוגמה, בעיה 8 מתורגמת כך:

(1) דוגמה לחישוב 100 כיכרות לחם של פפסו 20
(2) אם מישהו אומר לך: "יש לך 100 כיכרות לחם של פפסו 20
(3) להחלפה בבירה של פפסו 4
(4) כמו 1/2 1/4 בירה מאלט תמר"
(5) תחילה חשב את הדגן הנדרש עבור 100 כיכרות הלחם של פפסו 20
(6) התוצאה היא 5 הקאט. אז תחשוב מה אתה צריך עבור קנקן בירה כמו הבירה שנקראת 1/2 1/4 בירה מאלט תמר
(7) התוצאה היא 1/2 ממידת ההקאט הדרושה להוצאת קנקן בירה העשויה מדגן מצרים העליונה.
(8) חשב 1/2 מתוך 5 הקאט, התוצאה תהיה 2 1/2
(9) קח את זה 2 1/2 ארבע פעמים
(10) התוצאה היא 10. ואז אתה אומר לו:
(11) "הנה! נמצאה כמות הבירה נכונה."^[1]

בעיות 11 ו-23 הן בעיות באקו. בעיות אלו מציגות חישוב של תפוקת עובדים. בעיה 11 שואלת אם מישהו מביא 100 בולי עץ בגודל 5 על 5, אז לכמה בולי עץ בגודל 4 על 4 זה מתאים? בעיה 23 מוצאת את ההספק של סנדלר בהתחשב בכך שהוא צריך לגזור ולקשט סנדלים.^[1]

שבע מתוך עשרים וחמש הבעיות הן בעיות גאומטריות והן נעות מחישוב שטחים של משולשים, דרך מציאת שטח הפנים של חצי כדור (בעיה 10) ועד מציאת נפח של גוף קטום (אנ') (פירמידה קטומה).^[1]

הבעיה העשירית בפפירוס המתמטי של מוסקבה מתארת חישוב לשטח פנים של חצי כדור או אולי שטח פנים של חצי גליל. להלן אנו מניחים שהבעיה מתייחסת לחישוב שטח פנים של חצי כדור.

הטקסט של בעיה 10 מצוטט כך: "דוגמה לחישוב סל. נותנים לך סל עם פתח של 4 1/2. מה פני השטח שלו? קח 1/9 מתוך 9 (שכן) הסל הוא חצי קליפת ביצה. קיבלת 1. חשב את היתרה שהיא 8. חשב 1/9 מתוך 8. אתה מקבל 2/3 + 1/6 + 1/18 השארית של 8 לאחר הפחתת 2/3 + 1/18 אתה מקבל 7 + 1/9 ב-4 + 1/2. קיבלת 32. הנה זה השטח שלה. מצאת את זה נכון."^[1][5]

הפתרון מסתכם בחישוב השטח כ:

${\displaystyle {\text{חטש}}=(((2\times {\text{רטוק}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{רטוק}}={\frac {128}{81}}({\text{רטוק}})^{2}}$

הנוסחה מחשבת את שטח הפנים של חצי כדור, שבו השתמש הסופר של הפפירוס של מוסקבה כ-${\displaystyle {\frac {256}{81}}\approx 3.16049}$ להעריך את π.(אנ')

הבעיה הארבע-עשרה בפפירוס מוסקבה מציגה פתרון לחישוב נפח גוף קטום (אנ').

בעיה 14 קובעת שפירמידה קטומה באופן שהשטח העליון הוא ריבוע באורך 2 יחידות, התחתון ריבוע באורך 4 יחידות, והגובה 6 יחידות, כפי שמוצג. נמצא שהנפח הוא 56 יחידות מעוקבות, וזה נכון.^[1]

הפתרון לבעיה מצביע על כך שהמצרים ידעו את הנוסחה הנכונה לקבלת נפח של פירמידה קטומה (אנ'):

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

הטקסט של הדוגמה מוצג כך: "אם נאמר לך: פירמידה קטומה של 6 עבור הגובה האנכי ו-4 על הבסיס ועל 2 בחלק העליון: עליך לעלות בריבוע את ה-4; תוצאה 16. עליך להכפיל את 4; תוצאה 8. עליך לעלות בריבוע את ה-2; תוצאה 4. אתה צריך לחבר את התוצאות 16 וה-4 וה-2. תוצאה 28. עלייך לקחת 1/3 מ-6; תוצאה 2. עלייך לקחת את 28 פעמיים; תוצאה 56. ראה, זה 56. אתה תמצא [את זה] כנכון"^[6]

כאשר a ו-b הם אורכי הבסיס והצד העליון של הפירמידה הקטומה ו-h הוא הגובה. חוקרים העלו השערות כיצד ייתכן שהמצרים הגיעו לנוסחה לנפח של גוף קטום (אנ') אך הגזירה של נוסחה זו אינה ניתנת בפפירוס.^[7]

ריצ'רד ג'יי ג'ילינגס נתן סיכום שטחי של תוכן הפפירוס.^[8] מספרים עם קווי על מציינים את השבר היסודי עם מספר זה כמכנה, למשל ${\displaystyle {\bar {4}}={\frac {1}{4}}}$. שברי יחידות היו אובייקטים נפוצים למחקר במתמטיקה המצרית העתיקה.

התוכן של הפפירוס המתמטי של מוסקבה^[א]

מספר	פרט
1	ניזוקה ולא ניתנת לקריאה.
2	ניזוקה ולא ניתנת לקריאה.
3	תורן העשוי מעץ ארז. ${\displaystyle {\bar {3}}\;{\bar {5}}}$ of ${\displaystyle 30=16}$. לא ברור.
4	שטח משולש. ${\displaystyle {\bar {2}}}$ of ${\displaystyle 4\times 10=20}$.
5	פסוס של כיכרות לחם וכסף. זהה לבעיה מספר 8.
6	Rectangle, area ${\displaystyle =12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l}$. Find ${\displaystyle l}$ and ${\displaystyle b}$.
7	משולש, שטח ${\displaystyle =20,h=2\;{\bar {2}}b}$. מציאת ${\displaystyle h}$ ו-${\displaystyle b}$.
8	פסוס של כיכרות לחם וכסף.
9	פסוס של כיכרות לחם וכסף.
10	שטח פנים של משטח קמור של חצי כדור (או גליל).
11	כיכרות לחם וכסף. לא ברור.
12	פסו של בירה. לא ברור.
13	פסוס של כיכרות לחם וכסף. זהה לבעיה מספר 9.
14	נפח של פירמידה קטומה. ${\displaystyle V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})}$.
15	פסו של בירה.
16	פסו של בירה. זהה לבעיה מספר 15.
17	משולש, שטח ${\displaystyle =20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h}$. מציאת ${\displaystyle h}$ ו-${\displaystyle b}$.
18	מדידת בד באמות וכפות ידיים. לא ברור.
19	פתרון המשוואה ${\displaystyle 1\;{\bar {2}}x+4=10}$. ברור.
20	פסו של 1,000 כיכרות לחם. שברי עין הורוס.
21	ערבוב של לחם הקרבה.
22	החלפה של פסוס של כיכרות לחם ובירה.
23	חישוב עבודתו של סנדלר. לא ברור. פיט אומר קשה מאוד.
24	החלפה של כיכרות לחם ובירה.
25	פתרון המשוואה ${\displaystyle 2x+x=9}$. בסיסי וברור.

כתבים מתמטיים אחרים ממצרים העתיקה כוללים:

• פפירוס ברלין 6619
• מגילת העור המתמטית המצרית (אנ')
• הפפירוסים המתמטיים של להון (אנ')
• פפירוס רינד

פפירוסים כלליים:

• פפירוס האריס א
• פפירוס רולין