על-מכפלה

בתורת המודלים ובאלגברה מופשטת, על-מכפלה היא בניה בסיסית של מודל חדש מתוך אוסף של מודלים בסיסיים בעלי אותה שפה. כאשר כל המודלים הבסיסיים נלקחים להיות זהים, הבנייה נקראת על-חזקה. הבנייה נעשית על ידי לקיחת המכפלה הקרטזית של המודלים וצמצומה לפי על מסנן.

על-מכפלות משמרות את התורה מסדר ראשון של הרכיבים שלהן (ראו בהמשך), ולכן מאפשרות לבנות מבנים עשירים ולא סטנדרטיים מתוך מבנים פשוטים. למשל, על-מכפלה של שדות תספק שדה חדש. בפרט, אם ניקח על חזקה של השדה הממשי נקבל שדה, אך השדה החדש יכיל גם איברים שהם גדולים יותר מכל מספר טבעי (זה אפשרי כיוון שארכימדיות איננה תכונה מסדר ראשון).

נניח כי ${\displaystyle \{M_{i}|i\in S\}}$ הם אוסף של מודלים בשפה ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, ו-${\displaystyle U}$ הוא על מסנן על ${\displaystyle S}$. נגדיר יחס שקילות בין איברים של המכפלה הקרטזית ${\displaystyle \prod _{i\in S}M_{i}}$ - ${\displaystyle f\equiv g\iff \{i\in S|f(i)=g(i)\}\in U}$. ההיגיון מאחורי ההגדרה הזו הוא שאנחנו חושבים על הקבוצות בעל המסנן כקבוצות גדולות, והקבוצות שמחוצה לו כקבוצות קטנות או זניחות, לכן שני איברים במכפלה הקרטזית שווים אם הם שווים כמעט בכל מקום במובן של על המסנן. איברי המודל של על-המכפלה יהיו מחלקות השקילות תחת יחס השקילות הזה. נסמן את מחלקת השקילות של ${\displaystyle f}$ ב-${\displaystyle [f]}$. היחסים והפונקציות יוגדרו באופן דומה:

אם ${\displaystyle R}$ הוא שם של יחס ${\displaystyle n}$-מקומי בשפה אז נגדיר: ${\displaystyle R([f_{1}],\dots ,[f_{n}])\iff \{i\in S|R(f_{1}(i),\dots ,f_{n}(i))\}\in U}$

אם ${\displaystyle F}$ הוא שם של פונקציה ${\displaystyle n}$-מקומית בשפה אז נגדיר: ${\displaystyle F([f_{1}],\dots ,[f_{n}])=[g],g(i)=F(f_{1}(i),\dots ,f_{n}(i))}$.

כיוון ש-${\displaystyle U}$ הוא מסנן, היחסים והפונקציות מוגדרים היטב ולא תלויים בבחירת הנציג של מחלקת השקילות.

את על המכפלה מסמנים: ${\displaystyle \prod _{i\in S}M_{i}/U}$

נעיר כי ניתן לבצע את הבניה באופן מלא גם כאשר ${\displaystyle U}$ הוא רק מסנן, ולא על מסנן, אך במקרה הזה משפט Łoś לא יתקיים.

המשפט הבסיסי הנוגע לעל-מכפלות ועל חזקות טוען כי כל הנוסחאות מסדר ראשון שמתקיימות בחלק גדול ממרכיבי המכפלה, מתקיימות גם בעל המכפלה. באופן פורמלי:

אם ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots x_{n})}$ נוסחה בשפה ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ אז:

${\displaystyle \prod _{i\in S}M_{i}/U\models \varphi ([f_{1}],\dots ,[f_{n}])\iff \{i\in S|M_{i}\models \varphi (f_{1}(i),\dots ,f_{n}(i))\}\in U}$.

בפרט כל משפט (נוסחה בה אין משתנים חופשיים) שמתקיים בכל הרכיבים יתקיים גם בעל המכפלה.

הוכחת המשפט נעשית באינדוקציה על אורך המשפט, כאשר לשם הפשטות מתירים רק את כמת הקיום ואת הקשרים הלוגיים "וגם" ו"שלילה". הנוסחאות האטומיות מהוות את בסיס האינדוקציה - שם המשפט נכון מההגדרה.

• אם ${\displaystyle \varphi =\psi _{1}\land \psi _{2}}$ אז כיוון שהמשפט נכון בכל אחת מתת הנוסחאות ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$, אוסף הנקודות ב-${\displaystyle S}$ עליהן הנוסחה מתקיימת היא חיתוך שני אוספי הנקודות שבהן תת-הנוסחאות מתקיימות, וכיוון ש-${\displaystyle U}$ מסנן - היא שייכת ל-${\displaystyle U}$.
• אם ${\displaystyle \varphi ([f_{1}],\dots ,[f_{n}])=\exists y\psi (y,[f_{1}],\dots ,[f_{n}])}$ אז מצד אחד - אם על המכפלה מקיימת את ${\displaystyle \varphi }$, אז קיים [g] עבורו ${\displaystyle \models \psi ([g],[f_{1}],\dots ,[f_{n}])}$ ולכן מהנחת האינדוקציה אוסף האינדקסים בהם ${\displaystyle M_{i}\models \psi (g(i),f_{1}(i),\dots f_{n}(i))}$ הוא בעל מסנן.

מצד שני, על ידי שימוש באקסיומת הבחירה נוכל לבחור את ${\displaystyle g}$ קואורדינטה-קואורדינטה (כאשר בקואורדינטות בהן הנוסחה לא מתקיימת נבחר את הערך באופן שרירותי).

• המעבר דרך קשר השלילה משתמש בכך ש-${\displaystyle U}$ הוא על-מסנן.

במקרה של על-חזקה, נובע מהמשפט כי ההעתקה שמתאימה לכל איבר ${\displaystyle x}$ ב-${\displaystyle M}$ את מחלקת השקילות של הפונקציה הקבועה ${\displaystyle f_{x}(i)=x}$ היא שיכון אלמנטרי של M בתוך על המכפלה.

מודלים ${\displaystyle A,B}$ הם שקולים אלמנטרית אם ורק אם יש להם על-חזקות איזומורפיות ${\displaystyle A^{I}/{\mathfrak {F}}\cong B^{J}/{\mathfrak {G}}}$, מעל קבוצות אינדקסים ${\displaystyle I,J}$ ועל-מסננים ${\displaystyle {\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}}}$ מתאימים. כמסקנה שימושית, ניתן לאפיין מחלקות אלמנטריות באופן הבא: מחלקה היא אלמנטרית אם ורק אם היא סגורה תחת איזומורפיזמים ועל-מכפלות והמחלקה המשלימה לה סגורה תחת על-חזקות; אם ורק אם היא ומשלימתה סגורות תחת איזומורפיזמים ועל-מכפלות.

• במקרה שבו ${\displaystyle U}$ הוא על מסנן ראשי (כלומר על מסנן שמכיל את יחידון ${\displaystyle \{i\}}$) אז על המכפלה איזומורפית לרכיב ${\displaystyle M_{i}}$.
• כאשר העל מסנן מקיים תכונות נוספות (למשל סיגמא-שלמות), ניתן להרחיב את התוצאה של המשפט גם ללוגיקה בה אנו מתירים כמתים או קשרים על קבוצות אינסופיות (במקרה הזה - ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\omega _{1},\omega _{1}}}$). תכונה זו משמשת רבות בתורת הקבוצות, בעיקר בעיסוק במונים גדולים, שם אנחנו רוצים לקבל מודל מבוסס היטב של תורת הקבוצות (כלומר מודל בו אין סדרה אינסופית יורדת של שייכות: ${\displaystyle \dots \in x_{3}\in x_{2}\in x_{1}}$). תכונה זו לא ניתן לבטא בלוגיקה רגילה מסדר ראשון, אבל ניתן לבטא בשפות מורחבות שמתירות נוסחאות אינסופיות.

נניח ש-${\displaystyle U}$ הוא על מסנן על הטבעיים שמרחיב את המסנן הקו-סופי. אם ניקח על-חזקה של השדה הממשי לפי על המסנן ${\displaystyle U}$ נקבל שדה שמכיל את הישר הממשי הרגיל ובו, למשל, יש איבר שגדול יותר מכל המספרים הממשיים: הפונקציה ${\displaystyle f(i)=i}$ נמצאת מתחת לכל פונקציה קבועה רק במספר סופי של אינדקסים, ולכן מחלקת השקילות שלה גדולה יותר מהשיכון של כל מספר ממשי בעל-חזקה. על-החזקה עדיין מקיימת את כל התורה מסדר ראשון של הישר הממשי ולכן היא מספקת מודל עבור אנליזה לא סטנדרטית.

לפי משפט מלצב, כל חבורה משוכנת בעל-מכפלה של תת-החבורות הנוצרות סופית שלה. לכן, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית מקיימת תכונה מסוימת, החבורה מקיימת את אותה תכונה. למשל, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית ניתנת לסידור, אז החבורה כולה ניתנת לסידור. אם כל תת-חבורה נוצרת סופית היא ליניארית מדרגה קבועה, כך גם החבורה כולה (מכיוון שהבניה של על-מכפלות מתחלפת עם מטריצות: על-המכפלה של חוגי מטריצות מממד קבוע היא חוג המטריצות מעל על-המכפלה של חוגי הבסיס).

• אנליזה לא סטנדרטית
• מונה מדיד

• על-מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)