המשפט היפני למצולעים ציקליים

בגאומטריה, המשפט היפני למצולעים ציקליים קובע כי לא משנה כיצד מחלקים מצולע ציקלי למשולשים על ידי אלכסונים לא נחתכים, סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים הוא קבוע. בכיוון ההפוך, אם סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים אינו תלוי באופן הטריאנגולציה, אז המצולע הוא ציקלי. המשפט היפני למצולעים ציקליים נובע מהמשפט היפני למרובעים ציקליים (שמשמש מקרה בסיס עבורו), שבתורו נובע ממשפט קרנו.

משפט זה נקרא כך משום שהוא התגלה חרוט על לוח עץ (Sangaku) במקדש במחוז יאמאגטה שביפן, בשנת 1880.

המשפט ניתן להוכחה באמצעות הוכחת מקרה פרטי שלו: לא משנה איך מחלקים מרובע ציקלי למשולשים (ישנן שתי דרכים לעשות זאת - כל אחת מתאימה לאחד משני האלכסונים של המרובע), סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים הוא זהה. הוכחה סטנדרטית של המקרה המרובע עושה שימוש במשפט קרנו: אם נסמן את רדיוסי שני המעגלים החסומים המתקבלים באופן הטריאנגולציה הראשון ב-${\displaystyle r_{1},r_{3}}$ ואת רדיוסי שני המעגלים החסומים באופן הטריאנגולציה השני ב-${\displaystyle r_{2},r_{4}}$, אז מתקיים לפי משפט קרנו:

${\displaystyle r_{1}+r_{3}=(r_{1}+R)+(r_{3}+R)-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}+OD_{1}-OD_{1}-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}-2R}$

${\displaystyle r_{2}+r_{4}=(r_{2}+R)+(r_{4}+R)-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}+OD_{2}-OD_{2}-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}-2R}$

כאשר בקשרים אלו הסימן ${\displaystyle OS_{i}}$ הוא מרחק מרכז המעגל החוסם את המרובע O מהצלע ה-i ואילו ${\displaystyle OD_{1},OD_{2}}$ הם מרחקי מרכז המעגל החוסם מכל אחד מאלכסוני המרובע. מכיוון ש-O נמצא בתוך אחד מהמשולשים ומחוץ למשולש השני (או על אחד האלכסונים, ובמקרה זה המרחק מהאלכסון מתאפס), אז מיישום משפט קרנו נובע שהמרחק בין O לאלכסון מופיע פעם אחת עם סימן חיובי ופעם עם אחת סימן שלילי, כך שמקבלים את הביטויים לעיל, המראים כי ערך הסכומים ${\displaystyle r_{1}+r_{3}}$ ו-${\displaystyle r_{2}+r_{4}}$ הוא זהה.

לאחר שמוכיחים את המקרה המרובע, המקרה הכללי של מצולע ציקלי נובע כמסקנה כמעט מיידית. הסיבה לכך היא שניתן לעבור מטריאנגולציה של מצולע ציקלי לאחרת באמצעות סדרה סופית של החלפות אלכסונים ב"מרובעים חלקיים" חלקיים למצולע הנתון ("מרובע חלקי" נוצר על ידי בחירה שרירותית של ארבעה מקודקודי המצולע). מכיוון שמהמקרה המרובע נובע שכל צעד כזה משמר את סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים, מקבלים שסכום רדיוסי המעגלים החסומים קבוע ואינו תלוי בבחירת הטריאנגולציה הספציפית של המצולע הציקלי.

• משפט קרנו

מדיה וקבצים בנושא המשפט היפני למצולעים ציקליים בוויקישיתוף

• Japanese theorem at Mathworld
• Japanese Theorem interactive demonstration at the C.a.R. website
• המשפט היפני למצולעים ציקליים, באתר MathWorld (באנגלית)