המכפלה האינסופית של ויאטה

נוסחת ויאטה היא המכפלה האינסופית הבאה של רדיקלים מעורבים לחישוב הקבוע המתמטי פאי:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .}$.

כלומר זוהי מכפלה אינסופית מהצורה: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}}$, כאשר איברה הכללי ${\displaystyle a_{n}}$ של המכפלה מקיים את כלל הנסיגה: ${\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}}$.

היא נקראת על שם פרנסואה וייט (1540 - 1603), אשר פרסם אותה ב-1593 בעבודתו Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII.

בתקופה בה ויאטה פרסם את נוסחתו, שיטות לקירוב פאי בדיוק שרירותי היו ידועות מזה זמן רב. שיטתו של ויאטה ניתנת לפרשנות כווריאציה על הרעיון של ארכימדס לקרב את השטח של מעגל על ידי מצולע משוכלל חסום ומצולע משוכלל חוסם, אשר ארכימדס עשה בו שימוש למצוא את הקירוב:

${\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.}$.

אף על פי כן, בכך שפרסם את השיטה שלו כנוסחה מתמטית, ויאטה ניסח את ההופעה הראשונה של מכפלה אינסופית במתמטיקה, והדוגמה הראשונה של נוסחה מפורשת לחישוב הערך המדויק של פאי. כנוסחה הראשונה המייצגת מספר כתוצאה של תהליך אינסופי מאשר כפלט של חישוב סופי, נוסחת ויאטה נתפסת במובן מסוים כתחילתה של האנליזה המתמטית, ובהקשר רחב יותר אף נחשבת "כשחר המתמטיקה המודרנית".^[1]

באמצעות הנוסחה שלו, וייט חישב את π בדיוק של 9 ספרות עשרוניות אחרי הנקודה. אף על פי כן, זהו לא היה הקירוב המדויק ביותר ל-π הידוע באותו זמן, שכן המתמטיקאי הפרסי אל-קאשי (Jamshīd al-Kāshī) חישב את π בדיוק של 9 ספרות סקסגסימליות ב-1424 (16 ספרות עשרוניות אחרי הנקודה). לא הרבה זמן אחרי שוייט פרסם את הנוסחה שלו, לודולף ואן קואלן השתמש בשיטה קרובה כדי לחשב את π בדיוק של 35 ספרות.

ויאטה גזר את הנוסחה שלו באמצעות השוואת השטחים של מצולעים משוכללים עם ${\displaystyle 2^{n}}$ ו-${\displaystyle 2^{n+1}}$ צלעות החסומים במעגל יחידה. האיבר הראשון במכפלה, ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$, הוא יחס השטחים של הריבוע והמתומן, האיבר השני הוא יחס השטחים של המתומן וההקסדקגון, וכו'. לפיכך, המכפלה של האיברים מתנהגת בצורה טלסקופית ונותנת את יחס השטחים של הריבוע (המצולע ההתחלתי בסדרה) והמעגל (הגבול של מצולע משוכלל בעל אינסוף צלעות). שטח הריבוע הוא 2 ושטח המעגל הוא ${\displaystyle \pi }$ על כן תוצאת המכפלה היא ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}$. כדי להוכיח שיחסי השטחים אכן מתנהגים כמו האיברים הכללים של המכפלה נחשב את השטח הכללי של מצולע בעל ${\displaystyle 2^{n}}$ צלעות ונעזר בזהות: ${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$.

מתקיים: ${\displaystyle S_{2^{n}}=2^{n}cos({\frac {\pi }{2^{n}}})sin({\frac {\pi }{2^{n}}})}$

אם נצמצם ונשתמש בזהות ${\displaystyle \sin x=2sin(x/2)cos(x/2)}$ נקבל: ${\displaystyle {\frac {S_{2^{n}}}{S_{2^{n+1}}}}=cos({\frac {\pi }{2^{n}}})}$.

כלומר נותר להוכיח שאם ${\displaystyle a_{n}=2cos({\frac {\pi }{2^{n}}})}$ אזי : ${\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}}$. אם נציב ${\displaystyle a_{n}=2cos({\frac {\pi }{2^{n}}})}$ בכלל הנסיגה ${\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}}$ נקבל בדיוק את הזהות הטריגונומטרית לקוסינוס של חצי זווית: ${\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$, ובכך נשלמה ההוכחה.

כל דיון על חישוב ערכו של קבוע מתמטי מסוים באמצעות טור או מכפלה אינסופית הוא עקר מיסודו אם לא מתייחסים לקצב ההתכנסות של ההצגה, אשר מכתיב כמה איברים בפיתוח יש לחשב כדי להגיע לדיוק מסוים. וייט עשה את עבודתו על חישוב ${\displaystyle \pi }$ מאות שנים לפני שהמושגים של גבולות והוכחות ריגורוזיות של התכנסות פותחו, ובדיון כאן ננסה לרדת לליבת הדברים האלה.

נביט במכפלה האינסופית ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}}$. האיבר הכללי ${\displaystyle a_{n}}$ שואף מלמטה ל-2, ונסמן ב-${\displaystyle \epsilon _{n}}$ את ההפרש ${\displaystyle 2-a_{n}}$. אסימפטוטית, כלומר כאשר ${\displaystyle \epsilon _{n}}$ קטן מאוד, מתקיים: ${\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}}={\sqrt {4-\epsilon _{n}}}=2-{\frac {\epsilon _{n}}{2{\sqrt {4}}}}=2-\epsilon _{n}/4}$. כלומר מתקיים: ${\displaystyle \epsilon _{n+1}=\epsilon _{n}/4}$.

באופן דומה נסמן ב-${\displaystyle L_{n}}$ את תוצאת המכפלה לאחר n איברים, ב-L את גבול המכפלה האינסופית, וב-${\displaystyle \delta _{n}}$ את השגיאה ${\displaystyle L-L_{n}}$. מתקיים: ${\displaystyle L_{n}-L_{n-1}=L_{n-1}\epsilon _{n}/2}$ וכן: ${\displaystyle L_{n+1}-L_{n}=L_{n}\epsilon _{n+1}/2=L_{n}\epsilon _{n}/8}$. נחלק את שני ההפרשים זה בזה תוך הנחה שאסימפטוטית, ${\displaystyle L_{n}/L_{n-1}\approx 1}$ על כן: ${\displaystyle {\frac {L_{n+1}-L_{n}}{L_{n}-L_{n-1}}}=1/4}$. אולם: ${\displaystyle L_{n+1}-L_{n}=\delta _{n+1}-\delta _{n}}$, כלומר קיבלנו, שהפרשי שגיאות עוקבות יורדים מעריכית, על כן גם השגיאות יורדות מעריכית - בכל הכפלה פי ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$. מתקיים ${\displaystyle log_{10}({\frac {1}{4}})\approx -0.6}$, על כן לאחר n איברים נקבל 0.6n ספרות (אסימפטוטית).